第九章：天才的牛頓（中）

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微積分的發現

當我們講到牛頓時，必須要講到牛頓時期的另外一個天才。萊布尼茨是歷史上少見的通才，萊布尼茲出生於德國東部萊比錫的一個書香之家，父親是萊比錫大學的道德哲學教授，母親出生在一個教授家庭。萊布尼茲的父親在他年僅6歲時便去世了，給他留下了豐富的藏書。萊布尼茲因此得以廣泛接觸古希臘羅馬文化，閱讀了許多著名學者的著作，由此而獲得了堅實的文化功底和明確的學術目標。

15歲時，他進了萊比錫大學學習法律，一進校便跟上了大學二年級標準的人文學科的課程，還廣泛閱讀了培根、開普勒、伽利略、等人的著作，並對他們的著述進行深入的思考和評價。在聽了教授講授歐幾里德的《幾何原本》的課程後，萊布尼茲對數學產生了濃厚的興趣。

17歲時他在耶拿大學學習了短時期的數學，並獲得了哲學碩士學位。

20歲時，萊布尼茲轉入阿爾特道夫大學。這一年，他發表了第一篇數學論文《論組合的藝術》。這是一篇關於數理邏輯的文章，其基本思想是出於想把理論的真理性論證歸結於一種計算的結果。這篇論文雖不夠成熟，但卻閃耀著創新的智慧和數學才華。

萊布尼茲在阿爾特道夫大學獲得博士學位後便投身外交界。從1671年開始，他利用外交活動開拓了與外界的廣泛聯絡，尤以通訊作為他獲取外界資訊、與人進行思想交流的一種主要方式。在出訪巴黎時，萊布尼茲深受帕斯卡事蹟的鼓舞，決心鑽研高等數學，並研究了笛卡兒、費爾馬、帕斯卡等人的著作。

萊布尼茲曾道，“我讀‘數學’幾乎就像是在讀羅曼史”。他也在速成課程後不久寫道，“不知道從何而來的魯莽信心讓我相信以我自己的能力，如果我想要的話，我能與他們相提並論。”

時間時1675年，萊布尼茲已經30歲了，但是他的能力卻依舊保持在巔峰。無限小是瞭解特定瞬間運動的關鍵，像個謎團嘲笑著所有的數學家。在將近十年前，牛頓已經解開了這個謎團，併發明瞭現今所稱的微積分。但是他未向他人提及，一直將此秘密保護起來。現在，在未察覺牛頓所為的情況下，萊布尼茲也開始朝相同的目標出發。

微積分學是研究極限、微分學、積分學和無窮級數等的一個數學分支，併成為了現代大學教育的重要組成部分。歷史上，微積分曾經指無窮小的計算。更本質的講，微積分學是一門研究變化的學問，正如：幾何學是研究形狀的學問、代數學是研究代數運算和解方程的學問一樣。微積分學又稱為“初等數學分析”。

微積分學在科學、經濟學、計量金融學和工程學領域有廣泛的應用，用來解決那些僅依靠代數學和幾何學不能有效解決的問題。微積分學在代數學和幾何學的基礎上建立起來，主要包括微分學、積分學。微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函式、速度、加速度和斜率等均可用一套通用的符號進行演繹。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算長度、面積、體積等提供一套通用的方法。微積分基本定理指出，微分和不定積分互為逆運算，這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。我們能以兩者中任意一者為起點來討論微積分學，但是在教學中一般會先引入微分學。在更深的數學領域中，高等微積分學通常被稱為分析學，並被定義為研究函式的科學，是高等數學的主要分支之一。

提出一個多遠、多快、多高的問題，接著按下按鈕，機器就會吐出答案。微積分輕易的發揮拍攝快照的效用——凍結任何特定時刻的動作。先前永遠無法得到結果的問題，瞬間就得到了解釋。比如高空跳水運動員落水瞬間的速度是多少？任意向空中鳴槍時子彈會達到何等高度？甚至，子彈返回地面時的速度是多少？

一位歷史學家寫到，微積分是“點石成金的哲人之石”，甚至誇讚道，“阿基米德的難題現在連畫都省了就等解決了！”

我們每個人都能夠知道，世界上大部分的變化都是穩定而連續的。而每當變化呈現平穩狀態時，如船劃過水面、子彈穿過空中、彗星橫跨天際等，微積分便可以探索這類變化。採用新技術的科學家們談論此事時，將舊有的方式與新技術相比，“就像是黎明時昏暗對比正午的光亮”。

萊布尼茨和牛頓都被普遍認為是獨立的微積分發明者。牛頓最先將微積分應用到普通物理當中，而萊布尼茨創作了不少今天在微積分所使用的符號。牛頓、萊布尼茨都給出了微分、積分的基本規則，二階與更高階導數，近似多項式級數的記法等。在牛頓的時代，微積分基本定理是已知的事實。

當牛頓和萊布尼茨第一次發表各自的成果時，數學界就發明微積分的歸屬和優先權問題爆發一場曠日持久的大爭論。牛頓最先得出結論，而萊布尼茨最先將其發表。牛頓稱萊布尼茨從他未發表的手稿中盜取了想法，皇家學會的一些成員也跟牛頓持同一觀點。這場大紛爭將使數學家分成兩派：一派是英國數學家，捍衛牛頓；另一派是歐洲大陸數學家。結果是對英國數學家不利。日後對牛頓和萊布尼茨的論文的小心檢視，證實兩人是獨立得出自己的結論。萊布尼茨從積分推導，牛頓從微分推導。在今天，牛頓和萊布尼茨被譽為發明微積分的兩個獨立創始者。不過，“微積分”之名則是萊布尼茨所創。而牛頓將其成果稱為“流數術”。

牛頓利用了微積分的技巧，由萬有引力及運動定律出發說明了他的宇宙體系，解決天體運動，流體旋轉的表面，地球的扁率，擺線上重物的運動等問題。

有很長一段時間，牛頓盒萊布尼茲彼此極為恭維對方。1693年，在距離萊布尼茲聲稱自己發明微積分近十年後，牛頓寫了一封友好的信件給萊布尼茲，稱讚他說“正如我在所有場合中提到的，（萊布尼茲）是本世紀最主要的幾何學家之一”。而牛頓這位沒有朋友的天才更宣稱，“我重視我的朋友甚於數學發現”。

禮尚往來的萊布尼茲於1701年，在柏林皇宮的晚宴上，被普魯士女王詢問萊布尼茲有關牛頓的成績事宜時。萊布尼茲回答說：“自從上帝創世以來，超過一半的數學成就在艾薩克（牛頓）爵士手中完成。”

但這些場面話都是假的！

多年來，彼此對立的兩人極富心機的表面稱讚、私下詆譭對方。兩人都以匿名發表的方式詳細而惡意的攻擊對方，也都向同儕（是指與自己在年齡、地位、興趣等方面相近的平輩。）低於辱罵和指責對方，並在聽到自己造謠的內容時佯裝震驚和失望。

牛頓一直認為多才多藝的萊布尼茲在數學上的表現只是半吊子，是一名興趣在哲學和法律上的聰明初學者。萊布尼茲毫不懷疑牛頓的數學實力，但他認為，牛頓專注在一個特定而受限的領域。

到18世紀初，衝突公開爆發。在接下來的15年檢，衝突越發激烈。兩名該時代最偉大的思想家，緊抓著同一座金色獎盃不放，大聲叫嚷著“這是我的！”兩人都大發雷霆、憤怒且不願放棄。他們不僅確信對方剽竊，更以詆譭造謠的方式加劇這項籌碼。兩人都身心敵人這麼做的動機不過是出於想要獲得讚譽的盲目慾望。

因為微積分是研究自然界的理想工具，兩人的爭辯一路同數學延伸到科學，再從科學到神學。對於旁人而言，什麼是宇宙本質？怎樣運用微積分的技巧問題解決實質？這些問題無人問津，但每個人都很享受兩位知識巨匠的廝殺。更有甚者歐洲各地的王公貴族和英國皇室都加入了火線。一開始是哲學家之間的爭議，後來便形成了如歷史學家丹尼爾·布林斯廷所說的“世紀奇觀”。

經過了十年左右的相互毀謗，1711年萊布尼茲犯下了關鍵性的策略失誤。他在寄給英國皇家學會的一封信中抱怨他所遭受的侮辱，並要求皇家學會一勞永逸的縷清微積分的爭議。而時任皇家學會主席的正是牛頓本人。

這場戲劇就成為了牛頓任命了一個由“來自各國的有能力的多位紳士組成”的調查委員會。但實際上該委員會都是牛頓自己的人，然後該委員會發布的報告完全偏向牛頓。牛頓代表委員會發言道，“我們要問的不是這個或那個方法，而是找出第一個發明者”。

這份報告還質控，在多年前萊布尼茲曾私下窺見牛頓的數學論文。在那篇論文中，微積分被“充分描述”使得“任何聰明的人”都能掌握它的奧秘。換句話說，萊布尼茲不僅落後牛頓多年時間才發現微積分，他還是一名剽竊者。

牛頓曾在臨終前與他人敘舊時提到了這段長期的爭鬥。他滿意的提到自己“讓萊布尼茲心碎”。

在數學史家蒐羅出來兩人的私人檔案，找到明確的證據顯示牛頓和萊布尼茲各自獨立發現了微積分。牛村於1666年首度發現微積分，但過了幾十年後才在1704年出版。萊布尼茲在牛頓之後9年發現微積分，但他受限在1684年發表他的研究成果。

萊布尼茲制定微積分的書寫方式讓其他數學家更容易理解，並做出下一步的發展。今日我們學習的是萊布尼茲發明的符號和語言。而牛頓的微積分在今日已成為博物館的收藏。

神作現世

先前的數學先賢們總會做出像如今一樣的舉動，雷恩提供40先令的獎賞，大約相當於今日的400美元，誰可以在兩個月內找到答案，這筆錢就歸誰。原本以為重賞之下必有勇夫，遺憾的是，沒人拿到這筆錢。而他所提供的獎賞就是為了向要知道一個相關問題的答案——如果行星確實遵循距離平方反比定律，這將如何影響它們的軌道？這個問題實際上就是追問開普勒定律從而何來。而這時當時所有科學家們遭遇到的主要謎團之一。

雷恩是一名數學家，他曾承認自己多年來對此問題上遭遇的失敗。嫻熟的數學家哈雷（哈雷彗星以此人命名）向他的同伴坦誠，他試圖找出答案但都是功虧一簣。

1684年8月，哈雷向牛頓提出這個問題。哈雷也是英國皇家學會內少數傑出而又偉大的人物。哈雷除了牛頓在數學領域的聲譽，幾乎一無所知。但是年僅28歲的哈雷，不僅是一名完美的外交官，跟誰都相處的來。也在數學與天文學領域做出了不俗的成績。另外尤其重要的一點是，他幾乎對所有的事情都倍感興趣。為了能夠打撈沉船寶藏他會發明潛水鐘，並深入水中親自測試；他會攀登上高峰比較山頂和平地的氣壓；也會調查世界上包括熱帶與冰冷的島嶼在內的廣闊海洋。

現在，哈雷需要牛頓的幫忙。

當哈雷造訪牛頓時，並傾訴了難道諸多科學家的問題——如果太陽吸引行星的力量遵循距離平方反比定律，那麼行星的軌道該是什麼形狀呢？

令哈雷感到詫異的是，牛頓馬上回答說形狀會是橢圓形，並在哈雷驚奇的詢問下得知，牛頓回答道“因為我計算出來了！”而哈雷要求閱讀計算過程時，牛頓翻遍了論文回覆道“已經遺失”。哈雷設法讓牛頓再次推演並告訴哈雷本人。

在長達三個月的漫長等待後，牛頓終於寄送給哈雷一份長達9頁，正式的拉丁文論文，題名為《論星體的軌道執行》。這篇論文的成就遠遠超過了對哈雷問題的解答。比如，開普勒發現行星執行的軌道是橢圓形，這點從來沒有道理。這是一個“定律”，因為它符合史實，但它令人費解的是，為什麼是橢圓形而非圓形或者其他的形狀呢？現在牛頓提出瞭解釋說明了為什麼是橢圓形。他利用微積分為基礎的引數表示初，如果行星執行的軌道是橢圓形，那麼吸引它的力量必定遵循平方反比定律，反之亦然。如果行星遵循平方反比定律繞行一個固定的點，那麼它的軌道一定是橢圓形。這是一項嚴格的數學史實。橢圓形和平方反比定律緊密相連。

牛頓也解開了開普勒第二定律的秘密。這項定律同樣將無數的天文學家觀測結果總結成一條簡潔和神秘的規則——行星在相同的時間內掃過同等面積。牛頓在一片短文中推匯出第二定律，就像他推導初第一定律一樣，他使用的工具不是望遠鏡和六分儀，而是筆墨。他所做的只是假設某種力量將行星拉向太陽。牛頓就從這樣簡潔的陳述著手，證明開普勒定律是正確的。宇宙的奧秘現在有了秩序。

牛頓的發現讓哈雷大為震驚，哈雷清醒的認識到，世界需要知道他的發現！生性極為謹慎的牛頓雖然同意了，但是他需要先自己潤色一下他的原稿。

1686年4月，牛頓寄給了哈雷完整的手稿。他將9頁的論文擴充為500頁的《數學原理》一書和200餘項定理、命題與推論。每項論點都是簡潔而樸素的，沒有一個多餘的字，甚至連任何叮嚀警語或鼓勵捉襟見肘的讀者的話語都沒有。現在物理學家錢德拉塞卡仔細研究當中每項定理和證明後，讚歎道，“所有這些問題17個月的時間內被闡明、解決並依照邏輯順序處理是超乎人所能理解的。它之所以被接受之因為這就是事實。”

《數學原理》包括導論和三個部分，亦第一卷、第二卷和第三卷。牛頓的導論從我們所知的牛頓三項命題開始。不同於開普勒定律是根據數以千計的具體事實所做的摘要，這些命題是有關自然行為總體的權威宣告。例如，牛頓第三定律是著名的“每一項運動，都有相等但方向相反的反作用力”。第一卷主要處理抽象的數學，主題集中在諸如行星軌道和平方反比定律。

在第二卷中牛頓回到物理學並拆解主要包括笛卡爾在內的科學家的論點，笛卡爾曾試圖描述某個機制造成了行星和其他天體執行。在此卷中所寫的內容大部分是表明笛卡爾模型的錯誤之處。

然後就是註定讓《數學原理》一書不朽的第三卷。

牛頓用一長串的數學論證形式發表他的傑作——《數學原理》，又稱《自然哲學的數學原理》。在這本世界上最困難的幾何教科書中，嚴肅的定理、證明和推論一個接著一個的出現，生硬的知道或者解釋打造出這份毫無修飾的作品。貫穿這本書的基調是“冰冷漠然”，一個現代物理學家指出，“完全不與讀者妥協”。

許多偉大的數學家幾乎都像牛頓一樣難懂。他們對絆倒身後的追隨者不屑一顧。援引塞繆爾·約翰遜的言論作為自己的座右銘：“我已經為你找出論點，我沒有責任讓你瞭解這個論點。”有時候，展示成品、精煉修辭是出於審美的動機，就好像藝術家精心利用畫格子的方式幫助他找到對的比例。但牛頓的情況不是如此。他特意“將《數學原理》一書寫的深奧難懂”，他寫道，這樣他就不會被“對數學一知半解的人所打斷”。弄不懂的人無從批評，至於能夠理解他推理的人則將看大它的優點。

儘管牛頓對公開研究的信念保持敵意，他還是屬於革命的陣營。這個極其不願意公開研究的人，命中註定推動了科學戲劇化的進化，成為激發他人前仆後繼投身科學的榜樣。新一代的科學家使用日常語言談論科學，並發表他們的研究成果供所有人閱讀。他們認為自己這麼做實在頂禮膜拜牛頓，後者若知道一定會討厭他們。

如果不是哈雷的默默相助，《數學原理》第三卷可能永遠不會問世。1686年5月22日，在牛頓交出第一卷和第二卷手稿後，哈雷鼓起勇氣寄信給牛頓，告訴他一項讓人不快的訊息。哈雷寫道，“還有一件事我應該知會你，那就是胡克先生主張引力減弱的法則有部分是他的發明……他說你的想法是由他而來的。”哈雷婉轉的表達試圖減輕這種說法對牛頓的打擊，強調胡克的要求有限。胡克認為平方反比定律是他想出來的。他承認，他沒有看出平方反比定律和橢圓形軌道之間的關聯；這是牛頓一人的洞見。即便如此，哈雷寫道：“胡克先生似乎期待你應該提到他的貢獻。”

結果正好相反，牛頓一頁頁審閱《數學原理》，一見到胡克的名字便勤快的刪掉。牛頓斥責胡克；“現在這情況是不是很棒？所有發現、動手解決並處理一切的數學家知能用乏味的計算工作滿足自己，另一個人知會假裝什麼也不做，就將所有東西一把抓，並取走所有的發明。”牛頓繼續咆哮道；“他什麼也沒做！”牛頓哀嘆自己犯下了錯誤，那就是解釋自己的想法卻因此遭受攻擊。他早就該知道這類事情的發生。“哲學（即科學）就是這麼一位無禮而好爭辯的女士，想要跟她在一起就會惹上麻煩！我早就發現這回事了，而她現在也警告我不要再次靠近她！”

牛頓越想越生氣，認為刪除胡克的名字方式不夠強硬，於是告訴哈雷他決定不出版第三卷，哈雷趕緊安撫牛頓。畢竟無論是他本人、皇家學會還是知識界都不能少了牛頓的見解。

胡克是一位正在的天才，但是他還比不上牛頓。早在1971年，皇家學會就聽到傳言，據稱有位年輕的劍橋數學家發明了一種新的望遠鏡。牛頓設計的望遠鏡僅有6英寸長，卻比傳統的6英尺長的望遠鏡功能更強大。皇家學會要求和他見面，牛頓送來的望遠鏡讓學會成員詫異不已。

牛頓的聲譽從此建立。這是牛頓第一次與皇家學會接觸，學會立即邀請他加入。牛頓欣然接受。在這架望遠鏡得到新的改良之前，比牛頓年長7歲的胡克一直都是英國光學和鏡片的權威。

在望遠鏡成果引起注意之後不到一個月的時間，牛頓接著又送給皇家學會有關白光的開創性論文。在胡克的領域，再一次被牛頓涉足，並留下了自己的標記。牛頓曾經公開表示，他對自己的發現當之無愧的感到較矮。關於他對白光是由所有顏色組成這一現象的示範，牛頓寫到：“如果這稱不上是大自然的運作到目前為止最可觀的檢測結果，至少也是最其他的。”

這篇論文被後世譽為科學界空前的里程碑之一，但在一開始卻遭到主要來自胡克的大力阻攔。胡克聲稱，他做過所有相同的實驗，與牛頓的不同之處在於他提出的是正確的解釋。

兩人從來未能和平共處，甚至當他們發現彼此被安排在一間屋子時，胡克會大步的走出房間。牛頓也持相同的敵意。更甚者，在胡克去世二十年後，牛頓聽到他的名字還會發脾氣。

在胡克於英國皇家學會之中讓人維持舉足輕重地位的那些年中，牛頓與皇家學會保持了距離。等到胡克於1703年過世，牛頓立刻接受了學會主席一職。大約也在同一時間，學會變遷到了新址，搬家的過程中唯一一副胡克肖像消失了。