一個突破性的數學方程：首次準確模擬透過可滲透材料的擴散運動

發表在今天的《物理評論研究》雜誌上的論文中，布里斯托爾大學的科學家們開發出了“一個突破性的數學方程，可以首次準確模擬透過可滲透材料的擴散運動。”論文題為：“透過可滲透介面的擴散：基本方程及其對第一通道和區域性時間統計的應用”。

科學家評論說，這項研究成就是在愛因斯坦的第一個擴散方程後的一個世紀以來的一個根本性的進步，標誌著在描述從微觀粒子和自然生物到人造裝置的廣泛實體的運動方面取得了重要進展。

隨機運動無處不在，出現在許多物理、生物和社會系統中，傳統上是透過均勻環境中的擴散來模擬的。

但是，在現實系統中，環境的均勻性經常被空間的異質性所穿插，這些異質性對擴散運輸有很大的干擾作用。在許多情況下，這些異質性是由於可滲透介面的存在，通常被稱為半滲透或部分滲透的屏障。它們出現在不同多孔介質的微觀尺度上，如生物組織，但當整個生物體與化學或物理線索相互作用時，也出現在更大的尺度上。

細胞生物學中充滿了滲透性結構的例子，其功能是調節不同空間區域之間的生化物質的流動。在磁成像技術中，水分子透過不同細胞間的擴散被利用來了解人體的生理和解剖特性。真核細胞的雙層質膜內分子的橫向運動由於錨定的跨膜蛋白和其他大分子與基於肌動蛋白的細胞骨架網路結合而形成的亞微米區間而受到抑制。滲透性也與生態學有關，在生態學中，動物的擴散受到景觀異質性的影響，例如，棲息地的型別或道路和柵欄的存在。

過去，人們提出了各種理論方法來研究透過可滲透介面的擴散。離散和連續空間中的格林函式，光譜分解和散射技術。這些技術雖然有價值，但範圍有限，因為它們要麼要求空間對稱性，如分析性格林函式，要麼採用異質性的粗粒度表示，如有效介質近似。此外，這些不同的方法未能構建一個統一的框架，能夠代表具有滲透性和反應性異質性的擴散動力學，並推匯出重要的數量，如第一通道和區域性時間（或其他布朗函式）統計。鑑於可滲透膜的廣泛存在，上述侷限性要求發展一個關於透過可滲透介面擴散的基本理論。

該研究旨在透過對該問題的完全分析處理來提供這樣的理論。首先展示了在一個簡單的無偏差晶格隨機行走模型中，滲透性邊界條件是如何從微觀考慮中產生的。這樣的模型能夠推匯出一個不均勻擴散方程，其中不均勻性說明了多孔屏障的存在。該研究還提供了對有限域的一般情況和存在外力時的擴充套件。作為形式上的應用，明確研究了具有滲透性屏障的擴散的第一通道和區域性時間統計。

擴散方程是研究自由布朗粒子運動動力學的主要工具，但當存在可滲透介面形式的空間異質性時，還沒有得出基本方程。

該研究利用晶格隨機行走模型從微觀描述中獲得這樣一個方程。追求的Fokker-Planck描述和相應的後向Kolmogorov方程被用來研究第一通道和區域性時間統計，並獲得新的見解。其中一個令人驚訝的現象是，在半邊界域的情況下，在平均首次透過時間中出現了對可滲透屏障位置的依賴和獨立制度。新的形式是完全通用的：它允許研究在有界或無界域中存在多個滲透屏障以及反應性異質性的情況下，在外力的影響下的動力學。

論文第一作者、布里斯托爾大學複雜性科學研究員Toby Kay表示說，到目前為止，科學家們在研究透過多孔材料，如生物組織、聚合物、各種岩石和海綿的粒子運動時，不得不依賴近似值或不完整的觀點。“以前，用數學方法來表示在散佈著阻礙運動的物體（被稱為滲透性障礙物）的環境中運動的嘗試是有限的。透過解決這個問題，我們正在為許多不同領域的令人興奮的進步鋪平道路，因為可滲透的障礙物是動物、細胞生物和人類經常遇到的。”

數學中的創造力有不同的形式，其中之一是對一個現象的不同層次描述之間的聯絡。在該研究中，透過以微觀的方式表示隨機運動，然後再放大到宏觀描述這個過程，就有可以找到新的方程式。

該研究成果的數學工具可進一步應用於科技實驗，這可以改善產品和服務。例如，能夠準確模擬水分子在生物組織中的擴散，將推動擴散加權MRI（磁共振成像）讀數的解釋。它還可以更準確地表示空氣透過食品包裝材料的擴散，幫助確定保質期和汙染風險。此外，量化覓食動物與宏觀障礙物（如柵欄和道路）的互動行為，可以為保護目的提供關於氣候變化後果的更好預測。

在過去20年裡，

GPS全球定位系統

、行動電話和其他感測器的使用，產生了在數量和質量上都不斷提高的動態資料。這提出了對更復雜的建模工具的需求，以代表從自然生物到人造裝置等廣泛實體在其環境中的運動。

高階作者、布里斯托爾大學複雜性科學副教授Luca Giuggioli表示說：“這個新的基本方程是另一個案例，說明當空間是異質的時候，構建工具和技術來表示擴散的重要性；也就是說，當基本環境從一個地方到另一個地方發生變化時。”它建立在2020年的一個解決描述封閉空間內隨機運動的數學難題上。這一最新發現是在提高我們對所有形狀和形式的運動，統稱為運動數學（M

athematics of Movement

）的認知方面的又一重大進展，它有許多令人興奮的潛在應用。“ “這一開創性的數學公式為健康、能源和食品行業領域的激動人心的進展鋪平道路。”

參考：

https：//journals。aps。org/prresearch/abstract/10。1103/PhysRevResearch。4。L032039#fulltext