考研高數基礎（3）——函式的奇偶性和週期性

本文我們繼續來學習函式。

請在閱讀完前面的函式相關文章後，再來看本文。

在前面關於函式奇偶性的介紹中，還留下了一個疑問，現在我們把這個疑問補上。

那麼現在首先給出一個問題，

任何一個函式都可以表示為一個奇函式和一個偶函式的和，請問這句話是否正確？

對於這個問題的解答，

有許多人認為這個世界上的函式怎麼可能簡簡單單的就由奇函式和偶函式全部表示了呢，所以肯定是錯誤的。

這個只能說是瞎貓碰到了死耗子，剛好讓他們趕上了。

因為錯誤的關鍵根本不在這裡。這句話錯誤的關鍵在於，

只有關於原點對稱的函式才可以表示為一個奇函式和一個偶函式的和。如果這個函式的定義甚至都不關於原點對稱，那後面的奇函式和偶函式根本無從談起。

但是為什麼一個關於原點對稱的函式，就可以由一個奇函式和一個偶函式的和來表示呢？

接下來以一種簡單的方式來說明一下。

我們知道一個非零既函式和一個非零偶函式的和是一個非奇非偶函式。

如果一個非零奇函式和一個偶函式相加，但是這個偶函式為零。這樣子得到的結果為奇函式，沒有任何問題吧！

如果一個非零偶函式和一個為零的奇函式相加，則可以得到偶函式。

這個說法也是沒有任何問題的。

那我們考慮一下這個世界上但凡是定義域關於原點對稱的函式，是不是總共就三類。它要麼是奇函式，要麼是偶函式，要麼是非奇非偶函式。

你不可能再舉出別的例子了，當然注意這邊的前提是定義域關原點對稱。

所以上述那句話，就證明出來了。那麼函式奇偶性這一塊，一些簡單的結論就都介紹完了。

接下來是函式的週期性。週期性的定義這邊兒就不復述了比較簡單。而且週期性在函式這一塊沒有什麼值得討論的地方，除了下面兩個注意點。

首先，週期性和函式別的性質在一起是沒有什麼定理的。比如這邊舉一個例子，一個單調函式和一個週期函式相乘可以得到什麼？

有許多人就會在這裡考慮是否可以乘出一個特殊的函式。這裡請注意什麼都不會乘出來，當然不排除有特殊情況

。但是隻要這不是一個必然的情況，它就不能作為一條定理來使用。

其次對於函式的週期性，

還要注意的一點就是並非每一個週期函式都有最小正週期。

對於這個性質，在書上用的是迪利克雷函式作為一個例子。但實際上完全不需要這麼麻煩，這裡給出一個函式f（x）=1，x∈R，請自己考慮一下它的最小正週期是什麼。

到了這裡，各位算是掌握了函式的一點皮毛。下面來介紹一下幾個特殊的函式，湊一點字數。

首先是常值函式，這個大家經常可以看到。比如說x=1，或者y=1，當然還有經常拿來舉例子的y=0。它們的特點就在於它們與座標軸是平行的。

有許多看似正確的定理，如果帶入它們，就可以進行否定。所以這些函式常常作為一個反例來舉出。

接下來我們介紹符號函式，它的公式如下：

把它的形式記住就可以了，因為有的時候在積分中會讓你去積這樣一個符號函式。

如果你不小心忘了它的公式，就請按照sinx來積。這樣你死的會有尊嚴一點。

最後就是迪利克雷函式，你只要把它的公式記住就可以了，不是特別重要。

其實還有一個特別重要的函式，我們後面再詳細說，先休息一下。