高考數學——3步求解複合函式單調區間以及複合函式單調性規律

利用複合函式研究函式f［g（x）］單調性的步驟是，首先弄清外函式f（u）、內函式g（x）分別是什麼，然後按照以下三個步驟解決：

第一步，求外函式f（u）的單調區間I；

第二步，解不等式g（x）∈I，得到x∈I；

第三步，討論內函式在I上的單調性，並由複合規律，得出複合函式f［g（x）］在I上的單調性。但當內函式g（x）的值域是外函式f（x）的某一單調區間的子區間時，第二步可以省略。

複合函式的單調性規律：同增異減。

即若內、外函式在區間M上單調性相同，則複合函式在區間M上單調遞增；若內、外函式在區間M上單調性相反，則複合函式在區間M上單調遞減。

下面我們透過例題繼續講解：

例1。求函式f（x）=x^2-2∣x∣+3的單調區間。

解：設y=f（x）=x^2-2∣x∣+3，

u=g（x）=∣x∣

則y=u^2-2u+3=（u-1）^2+2在（-∞，1］上是減函式，在［1，+∞）上是增函式。

由∣x∣≤1得-1≤x≤1，

而u=g（x）=∣x∣在［-1，0］上是減函式，在［0，1］上是增函式，

所以f（x）在［-1，0］上是增函式，在［0，1］上是減函式。

由∣x∣≥1得x≤-1或x≥1，

而u=g（x）=∣x∣在（-∞，-1］上是減函式，在［1，+∞）上是增函式。

綜上，函式f（x）的單調減區間是（-∞，-1］，［0，1］，單調增區間是［-1，0］，［1，+∞）。

例2。已知函式f（x）=8+2x-x^2，g（x）=f（2-x^2），求函式g（x）的單調區間。

解：由於g（x）是由u=2-x^2和y=g（x）=8+2u-u^2複合而成。

y=8+2u-u^2=-（u-1）^2+9在（-∞，1］上是增函式，在［1，+∞）上是減函式，

u=2-x^2在（-∞，0］上是增函式，在［0，+∞）上是減函式，

又當u≥1時，即2-x^2≥1，

解得-1≤x≤1

而u=2-x^2在［-1，0］是增函式，［0，1］上是減函式，

所以g（x）在［-1，0］是減函式，［0，1］上是增函式，

又當u≤1時，即2-x^2≤1，

解得x≥1或x≤-1

而u=2-x^2在（-∞，-1］是增函式，［1，+∞）上是減函式，

所以g（x）在（-∞，-1］是增函式，［1，+∞）上是減函式。

綜上，g（x）在（-∞，-1］是增函式，［-1，0］是增函式，［0，1］上是減函式，［1，+∞）上是減函式。