初三上學期，圓中常考知識點之垂徑定理（中），構造直角三角形

垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧。課本上只有這一個推論，其實這邊一共有五個條件：（1）過圓心；（2）垂直於弦；（3）平分弦；（4）平分弦所對的劣弧；（5）平分弦所對的優弧，只要知道其中的任意兩個條件，剩下的三個都是正確的，這就是所謂的“知二求三”。但是，剩下的推論課本上沒有，因此在做解答時不能直接使用，需要自己證明。

前面介紹了利用垂徑定理判別概念題的真假以及求半徑長，接著介紹垂徑定理的其它作用。

1。利用垂徑定理求弓形的高

什麼是弓形呢？弓形就是圓中一條弦與弧所組成的圖形，常見的有兩種弓形圖。

例題1：一種花邊是由如圖的弓形組成的，弧ACB的半徑為5，弦AB=8，弓形的高CD是多少？

分析：本題考查的是垂徑定理的應用，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關鍵。設弓形所在圓的圓心為O，連線OC、OA，在構造的Rt△OAD中，利用垂徑定理和勾股定理即可求出弓形的高CD的長。

解：如圖， 連線OC、OA，則OC與AB的交點即為D點；

在Rt△OAD中， ∵OA=5，OD=5-CD，AD=1/2 AB=4；

∴5^2=（5-CD）^2+4^2， 解得CD=2．

弓形圖解題步驟：

（1）找出圓心（一般在弦的垂直平分線上）；（2）找出半徑（連線圓心與圓上的點即可得到）；（3）構造直角三角形（半徑、弦心距與弦長的一半所構成的三角形）。

2。利用垂徑定理求多解類題目

例題2：已知⊙O的半徑為10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，則AB和CD的距離是多少？

分析：本題考查了垂徑定理和兩平行線的距離，熟練掌握垂徑定理，應用了垂直弦的直徑平分這條弦，恰當地作輔助線構建半徑和絃心距，這是圓中常作的輔助線，要熟練掌握；本題還考查了分類討論的思想，分別求出弦心距作和與差得出兩平行線的距離。分兩種情況：①當AB、CD在圓心O的兩側時，如圖1，作輔助線，構建兩個直角三角形，先由垂徑定理得出BF和ED的長，再利用勾股定理計算出OE和OF的長，相加即可求出距離EF的長；②當AB、CD在圓心O的同側時，如圖2，同理求得距離EF的長。

解：分兩種情況： ①當AB、CD在圓心O的兩側時，如圖1，

過O作OE⊥CD於E，延長EO交AB於F，連線OD、OB，

∵AB∥CD，

∴EF⊥AB，

∴ED=1/2 CD=8，BF=1/2 AB=6，

由勾股定理得：OE=6，OF=8，

∴EF=OE+OF=6+8=14；

②當AB、CD在圓心O的同側時，如圖2，

同理得：EF=OF-OE=8-6=2，

綜上所述，AB和CD的距離為14或2。

垂徑定理在圓中應用很廣泛，這邊只是舉了部分例子。