高中數學：三角函式的二倍角公式及其由來

高中數學裡常用到的二倍角公式有三類：

正弦二倍角公式、餘弦二倍角公式、正切二倍角公式

。

1、

正弦二倍角公式

（1個）：

sin2α=2sinαcosα。

2、

餘弦二倍角公式

（3個）：

（1） cos2α=（cosα）^2-（sinα）^2；

（2） cos2α=2（cosα）^2-1；

（3） cos2α=1-2（sinα）^2。

3、

正切二倍角公式

（1個）：

tan2α=2tanα/［1-（tanα）^2］。

三角函式積化和差公式

【注】“（cosα）^2-（sinα）^2”表示“cosα的平方減去sinα的平方”。

二倍角公式的由來

一、正弦的“和角公式”和“二倍角公式”。

1、

正弦的“和角公式

”

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；

2、

正弦的“二倍角公式”

在正弦的“和角公式”中，令β=α，則有

sin2α=sin（α+α）

=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα；

即：

sin2α=2sinαcosα

。

三角函式公式

二、餘弦的“和角公式”和“二倍角公式”。

1、

餘弦的“和角公式”

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；

2、

餘弦的“二倍角公式”

（1）餘弦的“二倍角公式（一）”

在餘弦的“和角公式”中，令β=α，則有

cos2α=cos（α+α）

=cosαcosα-sinαsinα=（cosα）^2-（sinα）^2。

即：

cos2α=(cosα)^2-(sinα)^2

。

（2）餘弦的“二倍角公式（二）”

因為“（sinα）^2+（cosα）^2=1”，所以，（sinα）^2=1-（cosα）^2，

把“（sinα）^2=1-（cosα）^2”代入

餘弦的

“二倍角公式（一）”

中得

cos2α=（cosα）^2-（sinα）^2

=（cosα）^2-［1-（cosα）^2］=2（cosα）^2-1；

即：

cos2α=2(cosα)^2-1

。

正弦函式圖象和餘弦函式圖象

（3）餘弦的“二倍角公式（三）”

因為“（sinα）^2+（cosα）^2=1”，所以，（cosα）^2=1-（sinα）^2，

把“（cosα）^2=1-（sinα）^2”代入

餘弦的

“二倍角公式（一）”

中得

cos2α=（cosα）^2-（sinα）^2

=［1-（sinα）^2］-（sinα）^2=1-2（sinα）^2。

即：

cos2α=1-2(sinα)^2

。

三、正切的“

“

1、

和角公式”和“二倍角公式”。

正切的“

tan（α+β）=（tan

α+tanβ

）/（1-

tan

αtanβ）。

2、

“

和角公式”

在正切的“和角公式”中，令β=α，則有

tan2α=tan（α+α）

=（tan

α+

tan

α

）/（1-

tan

α

tan

α）=2tanα/［1-（tanα）^2］，

即：

正切

的“二倍角公式”

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