必備技能，高中數學三角函式求值問題的一般方法與技巧

0.

必備基礎（要點）

1） 任意角、弧度制、任意角三角函式定義。

2） 同角三角函式基本關係式、誘導公式以及和角、差角、半形、倍角、輔助角的有關公式。

3） 三角函式影象、影象變換及其性質。

4） 三角恆等變換問題的求解一般方法與技巧。

1.

基本問題說明

一般地，三角函式求值問題包括：

① 已知角度值，求其三角函式值。

② 已知三角函式式以及可能的約束條件，求某三角函式值、或證明三角函式值等於常數等。

③ 與三角形結合，已知某些關係式以及可能的約束條件，求某三角函式的值。

④ 已知由三角函式組成的代數式或函式解析式，求其值域、最值等。

2.

解決問題的一般解法

如圖。除少數比較簡單的題目可直接求解外，多數三角函式求值問題一般可透過上圖的兩大步求解。

1)

已知角度值，求其三角函式值（知角求值）

一般利用三角函式誘導公式、三角恆等式等，透過三角恆等變換，先化簡等式，再求解。一般不能查表，所以其要領有：

① 適用時，將非特殊角三角函式要化為特殊角三角函式；

② 適用時，將非特殊角三角函式消去。

提示

：求解這類問題的

關鍵（考查重點）在於觀察、識別甚至構造角度間的關係

，包括角度和、角度差、互補、互餘、分拆、組合等方法與技巧。

2)

已知某些角的三角函式值，求或證明其它角的三角函式值（知值求值）

① 一般利用“三角恆等變換”方法，分別或同時將已知、待求三角函式式進行轉化，使它們之間建立直接聯絡。大致可分為角運算型和值運算型兩類。

② 角運算型：關鍵是已知角與待求角之間的轉化（詳見三角恆等變換的基本技能部分）。

③ 值運算型：關鍵是已知和待求三角函式之間的轉化（詳見三角恆等變換的基本技能部分）。

提示

：求解這類問題的

關鍵（考查重點）在於角的有關約束的處理

，比如正確地確定角的所在象限或位置——無法確定時還要分類討論；若角度是三角形的內角度，要留意角度的（顯式或隱式的）約束及其可能範圍。

3)

已知由三角函式組成的代數式或函式解析式，求其值域或最值（實質上也是求值）。其

求解一般方法

為：

① 先確定角度（即定義域）的範圍及有關約束條件；

② 利用三角恆等變換方法與技巧整理、簡化或變換已知式；

③ 分析並求解值域或最值。

提示1：

三角函式求值問題也能以引數問題的方式出現，如已知三角函式值、值域或最值，反過來求某引數值或範圍。解題一般方法類似，只是最後一步反過來求值（類似方程）。

提示2

：若代數式或函式解析式為超越函式、或者可利用換元法變成不含三角函式的式子的題型，嚴格來說並不屬於三角函式求值問題（即三角函式並非這類綜合應用問題的主幹），因而將在其它模組中講述。

3.

典型例題

例1

計算tan12＋tan18＋√3/3tan12tan18。

解：

原式 = tan（12＋18）（1 - tan12tan18） + √3/3tan12tan18

= √3/3（1 - tan12tan18） + √3/3tan12tan18

= √3/3。

講解

：

① 給角求值時，關鍵是觀察已知的特徵，據此選擇合適變換路徑——角度變換或三角函式變換。

本題中，可觀察到12＋18=30，且第一、二項與第三項之間可透過正切和角公式聯絡起來，由此可確定求解思路。

例2

若sinα-2cosα=0，α∈（π，π/2）。

（1） 求sin（π/4+α）；

（2） 求tan（π/4+α）。

解

：依題意，sinα= 2cosα，

又（sinα）^2 + （cosα）^2 = 1，

所以可得：（sinα）^2 = 4/5。

又α∈（π，3π/2），

講解

：

① 本題雖然不算難，但很好地示例了知值求值的一種題型——可透過已知三角函式等式或值，求出與待解問題有關的角度值後，再求解問題。

② 很多時候，知值求值問題中無法求解角度的具體值，此時需要把待求角和已知角或它們的三角函式關聯起來，一般方法為：

a)

若已知角只有一個時，待求角可能與已知角是倍數、半數、互補、互餘、和差關係；

b)

若已知兩個角時，待求角可能與已知角有和與差的關係；

c)

若已知角或待求角是複雜的複合角形式時，一般需要先三角恆等變換，才能把已知條件和待求問題聯絡起來。

③ 本題已知為sinα-2cosα=0，所以求解簡單。

更一般地

，已知sinα±cosα=e（e≠0）時，可利用

平方法

，再結合（sinα）^2 + （cosα）^2 = 1進行求解。

例3

在△ABC，已知cosA=5/13，cosB=4/5，則cosC的值為___。

解

：依題意，可得：sinA=12/13，sinB = 3/5。

cosC = cos［π-（A+B）］ = -cos（A+B）

= -cosAcosB + sinAsinB

= -5/13×4/5 + 12/13×3/5

= 16/65。

講解

：

①

在三角形下求三角函式值（求角度值也類似）時，要注意：

a)

隱式條件：三角形內角和為π。

b)

sin值對應的可能是銳角也可能是鈍角，具體要依據題目條件取捨（本題未涉及這點）。

例4

已知0＜α＜π/2＜β＜π，cosα=3/5，sin（α+β）=-3/5，則cosβ=___。

解

：依題意，0＜α＜π/2＜β＜π、cosα=3/5，

∴sinα=√［1-（cosα）^2］ =√［1-（3/5）^2］ = 4/5，

又因sin（α+β）=-3/5，

∴π＜α+β＜3π/2，

∴cos（α+β） = -√［1-（sin（α+β））^2］

= -√［1-（-3/5）^2］ = -4/5，

∴cosβ= cos［（α+β）-α］

= cos（α+β）cosα+ sin（α+β）sinα

= （-4/5）*（3/5）+（-3/5）*（4/5）

= -24/25。

例5

求函式y=sin^2x+√3sinxcosx-1的最大值與最小值。

解

：依題意，

y = sin^2x+√3sinxcosx-1 = （1-cos2x）/2+（√3/2）sin2x-1

= sin2xcos（π/6）-sin（π/6）cos2x-1/2

= sin（2x-π/6）-1/2。

（

提示

：恆等變換得到由一個新的三角函式表示的函式式）

∴在sin（2x-π/6）=1時取得最大值 = 1-1/2 = 1/2，

∴在sin（2x-π/6）=-1時取得最小值 = -1-1/2 = -3/2。

講解

：

① 本題為三角函式最值題型（屬知值求值類），示例了這類題型的一般解法。

② “二倍角與輔助角”組合是高考中常考的方法與技巧。

③ 如本題改為“已知函式y=sin^2x+√3sinxcosx-m，最大值為3/2，求引數m的值”，則是一個引數問題，其解題思路大同小異。

溫馨提示：本文屬於高中數學《三角函式與平面向量》模組，更多資料正在創作中。歡迎持續關注——點選頂部的“關注”按鈕即可關注本號“輕快學習課堂”（關注後立刻送資料）。