2020年廣州中考數學第23題特色講評

垂線定理的原因是什麼

2020年廣州中考數學第23題特色講評

原題

如圖，△

ABD

中，∠

ABD

＝∠

ADB

．

（1）作點

A

關於

BD

的對稱點

C

；

（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）所作的圖中，連線

BC

，

DC

，連線

AC

，交

BD

於點

O

．

①求證：四邊形

ABCD

是菱形；

②取

BC

的中點

E

，連線

OE

，若

OE

＝6．5，

BD

＝10，求點

E

到

AD

的距離．

解答

（1）如答圖1，分別以點

B

、

D

為圓心，

AB

長為半徑作弧，兩弧交點（點

A

不算）即為所求的點

C

．

重要思考

一般地，如果要作點

A

關於已知直線

BD

的對稱點，（人教版）教科書的步驟是：先過點

A

畫直線

BD

的垂線，垂足為

O

，然後在垂線上擷取

OC

＝

OA

，則點

C

就是點

A

關於直線

BD

的對稱點．

網路上這道題大多數人也是按這種思路作答的（大多數答案都是抄來抄去）．

請看答圖2．

這樣畫顯然多畫了幾步．

因為軸對稱的本質是“重合”，如答圖3，分別以點

P

、

Q

為圓心畫弧時，只要以

PA

為半徑就可以直接求出點

C

了． 這樣畫只要畫3條弧就夠了，不要畫出垂線，也不要“擷取”．

什麼叫做軸對稱呢？把一個圖形沿著某一條直線摺疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那麼就說這兩個圖形關於這條直線（成軸）對稱．

可見軸對稱的核心是“重合”，也就是“全等”．

教科書不可能犯低階錯誤，那麼這樣畫究竟出於什麼樣的原因？

仔細閱讀上下文，得出這樣的猜測：

舍近而求遠，這是為了強調線段垂直平分線在軸對稱中的應用．

不知道我的猜測對不對．

最後，因為本題有一個特殊條件：

AD

＝

AB

，所以又可以省去求點

P

、

Q

的步驟，只要畫兩條弧就夠了（詳見答圖１）．

（2）①由作法得

AD

＝

AB

＝

CD

＝

CB

，

根據“四條邊都相等的四邊形是菱形”，得四邊形

ABCD

是菱形．

②如答圖4，過點

E

作

EF

⊥

AD

，

F

為垂足，則

EF

的長即為點

E

到

AD

的距離．

根據三角形的中位線定理，由

OE

＝6．5，可得

DC

＝13．

根據“菱形的對角線互相垂直”，得∠

COD

＝90．

再根據勾股定理，求得

OC

的長為12．

再根據平行四邊形的對角線互相平分，得

AC

＝2

OC

＝24．

因為菱形

ABCD

的面積等於兩條對角線乘積的一半，

所以菱形

ABCD

的面積等於120．

又因為菱形

ABCD

的面積還可以用底乘高來計算，所以

EF

＝120÷13．

講評

因為菱形的對角線互相垂直，所以有兩種方法可以計算菱形的面積．求點

E

到

AD

的距離，實際上就是求菱形的高．