與圓相關的取值範圍問題破解策略

難度係數★★★

【方法與技巧】

在諸多與圓相關的一些中高檔題型中，定點、動點、定長等形成幾何關係的“量”無疑具有核心地位的作用；而

擅於

發現並抓住核心往往是破解問題的關鍵。本專題將此類題型詳細歸納如下：

（1）與切線相關：過圓外一點做圓的切線；切線長與切點到圓心的距離有關。

（2）與弦長有關：直線截圓所得弦長與圓心到直線的距離相關。

（3）與切線的數量積及切線角的大小有關。

【典例1】已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，求

的最小值。

[分析]

設∠APO=θ，則

=

=

（1-

）=（

-1）（1-2

）=

+

-3≥

=2

-3，當且僅當

=

時等號成立，

的最小值為2

-3。

【典例2】設點M（x，1），若在圓O：x+y=1上存在點N，使得∠OMN=45°，求x的取值範圍。

[分析]

如上圖過M做圓的切線MP，設∠OMP=θ；則當N在圓上運動時，∠OMN∈［0，θ］，故滿足條件的θ≥45°；其臨界狀態為θ=45°，此時三角形OPM為等腰直角三角形（M點位於M1或M2），所以x∈［-1，1］。

【典例3】已知直線的方程為x+y=4；圓O的方程為x+y=r（r>0），若圓上恰有2個點到直線的距離為

。求半徑r的取值範圍。

[分析]

如圖所示，當圓位於兩虛線形成的圓環內部時，圓上恰有2個點到直線的距離為

。故只需求出虛線兩圓的半徑即可。

【典例4】已知橢圓C：

+

=1（a>b>0），圓E：

+

=

，過橢圓上的點P做圓的兩條切線；切點分別為A，B，若∠APB=90°，求橢圓C的離心率的取值範圍。

[分析]

如圖，由題意可知四邊形OAPB為正方形；故可得

=

=

。所以問題等價於橢圓上存在到原點距離為

b的點，因此a≥

；即

≥2

=2（

）；解得e∈［

）。

【鞏固練習】（1）已知直線方程x+y=4，圓O的方程

+

=

（r>0），若圓上恰有4個點導致線的距離為

，求半徑r的取值範圍。

（2）已知直線：ax+by-1=0（a>0，b>0），圓O的方程

+

=4，若圓上恰有3個點到直線的距離為1，求ab的取值範圍。

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