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一個簡單的擺水果問題，為何會讓數學家花400年的時間去證明？
- 由 走進未知世界 發表于 棋牌
- 2022-04-24
1乘以無窮大等於多少
跨越了400年的擺水果問題，終於被數學家證明出來了。圓圓的橘子要怎麼擺放最節省空間？
現在我們知道，在三維空間裡，一個橘子同時和12個橘子相切，就是最節省的擺法。
你看，這麼簡單的擺水果問題，我們在生活中似乎早已預設，但數學家卻花了400年去證明。為什麼這個問題那麼難以證明？數學家最後如何得以證明？這個擺放原理又在哪些方面有所運用？
今天我們就來了解一下這個困惑了數學家400年的數學問題。
開普勒猜想被證明
2017年，比茲堡大學數學家
托馬斯黑爾斯
與21名協作者發表了一篇論文。論文表示，已經透過驗證，證明了開普勒猜想的正確性，由此
開普勒猜想才最終發展為開普勒定律
。
在數學界，整個證明過程
歷經四百多年
。
開普勒猜想是什麼？
什麼是開普勒猜想呢？開普勒猜想其實是著名的天文學家、物理學家、數學家，開普勒在1611年發表的文章On the Sixth-cornered Snowflake（《論六角形雪花》）提出猜想：
六方最密堆積和麵心立方堆積是三維空間中的最佳擺法
。
其實這個猜想來源於英國著名的探險家沃爾特雷利。當時他在探險的過程中突然發現一個問題：
怎麼在有限的空間裡堆放最多的農炮彈呢
？他百思不得其解，於是他詢問了自己的數學家朋友托馬斯哈利奧特。
後來哈里奧特與開普勒寫信的時候提到了這個問題，這讓開普勒很感興趣，於是便開始展開了研究。由於炮彈這樣的球體需要在
三維空間中進行擺放
，要直接解決這個問題比較困難。
所以開普勒就將問題簡單化，先從二維空間進行解答。在二維空間中，將球面逐一擺放後，會發現
當球面與周圍的六個球面相切時
，它的
空間利用率最高
。
於是開普勒開始著手在三維空間中進行擺放。以一層小球為基底，第二層的小球就會放在第一層的凹陷處。然後一層一層往上疊加。
最後會出現兩種規律。一種是第一層和第三層對齊，第二層和第四層對齊，以此類推。我們將第一層看作A，把第二層看作B，就會出現
ABAB的順序迴圈
。
而另一種就是第一層和第四層對齊，第二層和第五層對齊，第三層和第六層對齊，然後以此類推。同樣的將第一層看作A，將第二層看作B，將第三層看作C，就會
出現ABCABC的迴圈結構
。
不過最後就會發現其實每一個小球都與12個小球相切了，也就是說這種擺法在一定程度上可以歸為一種。
開普勒認為六方最密堆積和麵心立方堆積就是在三維空間裡的
最佳擺法
，他算出了小球的最大填充密度
大約為74%
，不過開普勒並沒有對其進行證明。
開普勒猜想的證明過程
後來，為了證明這個猜想，是數學家們可以說是絞盡腦汁，連
牛頓、笛卡爾、布萊尼茨等人都被難倒
。直到1831年，數學王子高斯有了一個突破，他證明了在有周期性，規律性的填充方式中，面心立方堆積密度填充密度最大。
不過那要是不規律的呢？這好像說不太通，所以這個問題並
沒有得到完全的解決
。
又過了一百多年，美國數學家
托馬斯黑爾斯
提出可以透過窮舉法來證明，只需要找到一種填充密度
大於74%的擺放方法
就可以解決。於是在1996年，他開始用計算機進行窮舉，經過兩年的時間，他窮舉完所有擺放方法。得到的結果是：
同等體積下，球體的最大填充密度就是74%
。
他當時想要把這個結果發表到《數學年報》，但審查員卻犯了難。經過幾年時間，《數學年報》發表宣告，說黑爾斯證明了開普勒猜想，但是他們認為
正確率為99%
。那剩下的1%也可以說是
不排除電腦程度出現bug的問題
，所以當時人們對黑爾斯用這種方法證明出來的
開普勒猜想
，並沒有很認可。
不過黑爾斯並沒有放棄，他認為只要用另一種程式來證明這個程式沒有出錯，就可以得到形式化證明。於是他和21名協作者共同組成了一個團隊，對這個結果進行驗證。
歷經11年的時間
，他們終於完成了驗證，並將論文發表出來。如今開普勒猜想歷經四百多年，
終於變成了開普勒定律
。
N維空間的球體堆積問題
不過這並沒有結束，因為在1900年的時候，希爾伯特不僅把這個問題划進了他的23個問題中，將它作為第18問的一部分，還對其進行了擴充：
將原本的三維空間變成N維空間
。
實際上，在維度越多的空間裡，球體的填充密度會越來越多，而且會無限趨近於零。2016年，
烏克蘭數學家瑪麗娜維亞佐夫斯卡
，解決了在
八維空間的球體堆積問題
，並且和他人合作解決了
二十四維空間的球體堆積問題
。
最後計算得出八維空間裡球體的填充密度約為
3.6%
。而在二十四維空間裡填充密度只有約
0.005%
。
開普勒定律運用
我們都知道數理化可是不分家的。那麼這個數學問題在其他方面又有什麼運用呢？比如
金屬晶體原子採用的就是六方最密堆積和麵心立方堆積的排列方式
，這樣才能使元素形成穩定的結構。
不過雖然我們前面提到六方最密堆積和麵心立體堆積，在一定程度上可以說是一種堆法。但其實
元素的堆積方式不同
，其構成的
性質也會不同
。
如此一來我們就會發現很多構成元素一樣，但是外表不一樣的物品。現在來看在
水果攤上擺放
的蘋果、橘子等水果，是不是就能知道為什麼會這樣擺放了呀。
其他數學問題的解決情況
對於數學家來說，一個問題和定理得到解決和證明的
時間越長
，就說明這個
問題和定理越重要
。在數學領域，還存在更多
花費了大量時間
才得以證明的定理。我們來看一些比較經典的數學問題的解決情況。
我們比較熟知的應該就是
蜂窩猜想
了吧，為什麼每一個蜂巢都是六面柱體？因為一個蜂窩的問題演變成了尋找
面積最大周長最小的平面圖形
。
這個問題可以說是目前耗費時間最長的問題，數學家們整整用了
2035年
。
1943年匈牙利數學家陶斯
證明了在所有首尾相連的正多邊形中，正六邊形的
周長是最小的
。陶斯認為當多邊形是曲線的時候同樣如此，但是他沒證明。
2006年的一篇文章提到，美國數學家黑爾在考慮多邊形是曲線時，不管曲線向內突，還是向外凸，都可以證明正多邊形的周長是最短的。他還將證明過程放到了網頁上，許多專家也認可了其證明的正確性。
不過我們現在只能找到黑爾認為在建築中，平面比凹凸面更省材料的相關敘述，對於證明選擇正六邊形的問題
卻沒有找到相關文章
。如今我們還有很多歷經多年的數學問題沒有得到解決，比如我們前文所述的
希爾伯特23問
，就還剩下很多等待數學家們繼續證明。
還有1742年提出的
哥德巴赫猜想
可以說是世界近代
最難解決的三大問題之一
。目前最好的結論就是
我國數學家陳景潤
在1966年，用篩法證明出來的“1+2”，也就是任意一個大偶數可以拆成一個素數與兩個素數乘積的和。
其實很多數學問題都來源於我們的生活，有時候人們會認為證明的過程比才行更重要，但我們也不能因為證明的過程比較長就得出這樣的結論。
但事實上對於一個完美的定理來說，猜想和證明過程都同等重要，因為
往往有了猜想
，
才會出現證明的過程和結果
。