中考數學常考知識點，菱形的綜合運用

我們學習四邊形的時候都知道平行四邊形是個重點，而且可考查的地方也非常的多，而且它也是我們後期學其他四邊形的根基，老師一般都會重點講解，從性質到判定，到實際例題。小仙老師也在之前的文章裡做了詳細的講解。今天我們講一講另外的一種四邊形-菱形。很多同學確實不太重視這麼“小眾”的知識點，但是往往考起來會讓你分外棘手。菱形就是有一組鄰邊相當的平行四邊形，因此平行四邊形的所有性質它都有。當然作為特殊的平行四邊形，那肯定得有特殊之處，鄰邊相等、對角線相互垂直就是它特殊之處，這個點在實際解題中用的非常頻繁。我們接下來就進行幾個例題實際分析一下。

經典例題1： 菱形ABCD的對角線AC=6cm，BD=4cm，以AC為邊作正方形ACEF，則BF長為多少？

解

∵AC=6cm，BD=4cm，∴AO=0。5AC=0。5×6=3cm，BO=0。5BD=0。5×4=2m，如圖1，正方形ACEF在AC的上方時，過點B作BG⊥AF交FA的延長線於G，BG=AO=3cm，FG=AF+AG=6+2=8cm，在Rt△BFG中，BF=√（BG^2+FG^2）=√73，如圖2，正方形ACEF在AC的下方時，過點B作BG⊥AF於G，BG=AO=3cm，FG=AF﹣AG=6﹣2=4cm，在Rt△BFG中，BF=√（BG^2+FG^2）=√（9+16）=5cm，綜上所述，BF長為5cm或√73cm．

經典例題2：

如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，∠APB=60°，連線PO並延長與⊙O交於C點，連線AC，BC．（1）求證：四邊形ACBP是菱形；（2）若⊙O半徑為1，求菱形ACBP的面積．

（1）連線AO，BO，∵PA、PB是⊙O的切線，∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=0。5，APB=30°，∴∠AOP=60°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠AOP=∠CAO+∠ACO，∴∠ACO=30°，∴∠ACO=∠APO，∴AC=AP，同理BC=PB，∴AC=BC=BP=AP，∴四邊形ACBP是菱形；

（2）連線AB交PC於D，∴AD⊥PC，∴OA=1，∠AOP=60°，∴AD=OA=√3/2，∴PD=1。5，∴PC=3，AB=√3，∴菱形ACBP的面積=0。5，ABPC=3√3/2

經典例題3：已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，則PM+PN的最小值。

解：以BD為對稱軸做M的對稱點Q，連線NQ，交BD於P，連線MP，此時MP+NP的值最小，連線AC，如下圖。∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，因此Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M為BC中點，∴Q為AB中點，又∵N為CD中點，四邊形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四邊形BQNC是平行四邊形，∴NQ=BC，∵四邊形ABCD是菱形，∴CP=0。5，AC=3，BP=BD=4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5

菱形的學習，同學們要重視起來，因為我們解幾何題目的時候，不僅僅單純的考查這個知識點，由於它的特殊性還很容和其他知識點想結合進行考查，難度也會直線提升。ps：各位小夥伴，純手打。如果有錯必別字或者排版錯誤，敬請見諒，可以請留言，我即使改正。