運用轉化思維，構造“圓”模型，求解線段最值問題

歡迎來到百家號“米粉老師說數學”，幾何最值問題，一直都是初中幾何題中難度最大的一類題型，利用數學轉化思維，構造各種數學模型，是解決此類題最核心的解題的策略，構造相應的數學模型既有代數方法，也有幾何方法。如代數方法，往往是把題中的兩變數設定為引數，建立二次函式模型，轉化成二次函式的最值問題來解決；又如幾何方法，可以把它轉化成線段和差最值的“將軍飲馬問題”，也可以轉化成“垂線段最值問題”，到了初三學了圓知識之後，又多了一種轉化思維：構造圓模型，從圓的角度解決線段最值問題，今天我們結合例項來說一說，如何構造圓模型，利用圓的相關知識及解題思路，來解決線段的最值問題。

例1。如圖，點A是直線y=-x上的動點，點B是x軸上的動點，若AB=2，則△AOB面積的最大值為_____

【思路分析】由於AB是定長，若以AB作△AOB面積的底邊，則點O到線段AB的距離即為高，要想面積最大，只需要點O到線段AB的距離最長，由於∠AOB是45或135，過O、A、B作△AOB的外接圓，AB即為圓的弦，求圓上一點到弦的距離最長，只需作弦的垂直平分線（由垂徑定理可知必經過圓心），與圓的兩個交點中，異於弦的那個交點，即到弦的距離最長。例如，如圖，點P到弦CD的距離最長。

所以，在此題中，當線段AB運動過程中，線段AB的垂直平分線經過點O時，且點O與弦AB異於圓心時，點O到線段AB的距離最長，則面積也是最大。

【解題過程】

作△AOB的外接圓⊙M，∵∠AOB=45或135，∴∠AMB=90，△MAB是等腰直角三角形，∴MA=MB=√2，作線段AB的垂直平分線MN，當A、B運動到如圖位置時，即點O在MN上時，如圖所示，點O到線段AB的距離最大，由於AB是定長，所以此時△AOB的面積最大，由題易知Rt△AMN、Rt△BMN是等腰直角三角形，MN=1，∴ON=√2+1，∴△AOB面積的最大值為：AB×ON÷2=2×（√2+1）÷2=√2+1。

例2。 如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為______

【思路分析】

P為動點，BP、AP不僅位置與長度都不確定，要想轉化成線段和，必須要有一根長度固定的線段。由∠PAB=∠PBC，不難得出∠P=90°，不管P怎麼運動，∠P是直角不固定不變的，即點P在以AB為直徑的圓上運動，由於AB的長不變，那麼這個圓的半徑是固定的，取圓心O（AB的中點），求PC最小，即是求PC+OP最小，當O、P、C在同一直線上時，符合要求。所以選B

【解題過程】

∵∠PAB=∠PBC，∴∠P=90，以AB為直徑，作△ABP的外接圓⊙O，則OA=OB=OP=3，當點P運動到OC上時，PC最短，∵OB=3，BC=4，由勾股定理可得：OC=5，∴CP的最小值為OC-OP=2。

例3。已知，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，∠CAD=45°，AC=4，E是線段BD的中點，則CE的最小值是_____

【思路分析】

只有動態問題中才有線段的最值問題，此題只告訴AC的長，說明B點是動點，把圖形放在圓的背景下，就更清楚這一點了。以AC為直徑畫⊙O，∵∠CAD=∠CBD=45°，它們所對的都是弧CD，∴D也在⊙O上，∵∠ABD=∠ACD=45°，∴△ADC是等腰直角三角形，OD⊥AC，B在弧AC上運動，我們可以從B的特殊位置在探索E的運動軌跡。當B與A重合時，BD與AD重合，則E點就是AD的中點；當B運動到BD是直徑時，四邊形ABCD是正方形，E點與圓心重合；當B運動到C點時，BD與CD重合，則E點就是CD的中點，可見，E點在直角三角形ADC兩直角邊的中間及圓心O這間的圓弧上運動，即以DO的中點O1為圓心，OO1為半徑畫圖，點E就在⊙O1上運動，當O1、E、C在同一直線上時，CE最短，位置確定了，依題目條件即可解答。

【解題過程】

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