0.999…到底小於1還是等於1？

學數學，就上星座標！你好，這裡是星座標頭條。

今天的頭條內容，我們來聊一聊無限迴圈小數0。999…與整數1之間的大小關係。我想，一看到這個問題，大多數人會不假思索地認為：0。999…<1，那麼究竟小多少呢？可能你一時半會兒還真說不清楚。

其實， 0.999…=1。

看到這個結論，你是不是就要反駁了，儘管0。999…無限接近於1，但無論如何依然小於1，怎麼可能相等呢。為了驗證這個結論是正確的，下面，我將通過幾種不同的方法分別來證明。

反證法

我們先用反證法來論證。

假設0。999…不等於1，那麼它們之間肯定存在一個差。也就是說如果進行計算：1-0。999…，我們肯定能得到一個確定的答案。

那麼答案是多少呢？我們可以確定的是，答案肯定比0。1小，當然也比0。01、0。001小。可無論1前面有多少個0，答案都要比它小。但是我們不能不限地在1前面放0，因為我們不知道究竟要放多少個0，所以我們得不到一個確定的值。這就與我們假設的“0。999…與1之間肯定存在一個差”相矛盾。也就是說，0。999…等於1。

是不是有些似懂非懂的感覺呢？沒關係，我們再來看看第二種論證方法。相信聽了這個方法，你一定會茅塞頓開。

方程法

通常我們在沒有思路的情況下，總是想到用 “萬能的方程法”來“救場”。因此，這裡我們也用方程來試試看。

由於不知道0。999…究竟是多少，我們假設它為x。即x=0。999…。給兩邊同時擴大10倍，可以得到等式10x=9。999…，而9。999…是由整數部分9和小數部分0。999…相加的結果，因此我們就可以將10x=9。999…表示為：

10x=9+0。999…

接著用x來替換0。999…，就可以得到這樣一個方程：

10x=9+x

透過解這個方程，我們可以得到x=1，也就是0。999…等於1。

不知道你發現了沒有，透過上面的證明，我們不但確定了0。999…等於1這個結論的正確性，還清楚地知道了將無限迴圈小數表示為確定數值的具體方法。

其實，

所有的無限迴圈小數都是有理數，而有理數都可以用方程法寫成分數的形式。因此，無限迴圈小數都可以用分數的形式表示出來。

算術法

如果說你只想知道0。999…是否等於1，對方程並不是那麼“感冒”，那麼，不妨再看看下面的論證方法。

想必你非常熟悉1/3是無限迴圈小數0。333…的分數形式，如果用等式來表示，就是：

1/3=0。333…

根據等式的性質2：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，左右兩邊仍然相等。

因此，我們給等式兩邊同時乘3，這樣就可以得到

1/3×3=0。333…×3

透過計算，等式就變化為：

1=0。999…

這就說明0。999…是等於1的。

當然，除了運用等式的基本性質，運用加法運算也可以得到這一結論。因為1/3=0。333…， 2/3=0。666…，所以

1/3+2/3=0。333…+0。666…

即0。999…=1。

由此看來，大多人會產生0.999…<1的錯覺，說到底是對無限迴圈小數的概念缺乏本質的認識：所有的無限迴圈小數，均屬於有理數範疇，任何一個有理數都可以寫成分數m/n(m,n都是整數,且n≠0)的形式。

最後，請你思考一個問題：你能將0。777…用分數的形式表示出來嗎？歡迎你在評論區留言互動，分享你的看法。

以上就是今天的頭條內容，希望聽了以後對你有所啟發，我們明天再見！

參考文獻：根上生也。想要教給別人的數學［M］。王博，譯。湖南：科技出版社

文稿：馨之

講述：馨之