從長方形面積公式看萬物相生的關係

平行四邊形的面積怎麼算

“道生一，一生二，二生三，三生萬物”

這是老子在兩千多年前說出的一句至理名言，其中包含了無窮的智慧。在我多年來學習數學，研究數學的過程中越來越覺得，數學的發展不正是1生2，2生3，3生萬物的過程嗎？

就拿最簡單的小學幾何來說，長方形的面積=底×高，從這個面積公式一步一步衍生下去，會發現，幾乎所有圖形的面積公式都可以由這個公式得到。所以，我今天想說的是：

長方形是所有平面圖形之源

我們僅從平面圖形面積計算公式的關係來探究一下這句話的正誤。

我們都知道，長方形的面積公式 面積=長×寬 S=ab

這個應該不需要證明了。

長方形面積公式

有了這個公式，我們就可以推匯出平行四邊形的面積公式。

如圖：

平行四邊形透過切補，變成長方形

平行四邊形透過簡單的切補變形，就變成一個長方形。對任意一個平行四邊形都可以做這個變換，因此，我們得到平行四邊形的面積公式：

平行四邊形面積=底×高 S=ah

有了平行四邊形的面積公式，我們可以進一步推匯出三角形面積公式。

如圖：

平行四邊形分成兩個全等三角形

容易得出，任意平行四邊形可以分割成完全相等的兩個三角形，所以任意三角形面積都可以表示成一個平行四邊形面積的一半。

所以三角形面積=底×高 ÷2 S=1/2ah

知道三角形面積公式，我們來看梯形。

如圖

梯形可分割為兩個等高的三角形

對任意梯形，可以分割成兩個等高的三角形，這兩個三角形的面積分別為1/2ah，1/2bh。兩個三角形面積相加得到梯形面積=1/2（a+b）h，

即梯形面積=（上底+下底）×高÷2。

至此，利用長方形面積公式我們得到了平行四邊形，三角形，梯形的面積公式。加上正方形（特殊的長方形）面積=邊長×邊長，小學階段常規直線圖形的面積公式都有了。

這些公式的起源就是S=ab。

接下來，我們來看一下，曲線圖形，最簡單的，就是圓了。

最簡單的推導圓面積的方法還是切補法，先把圓分成無數個小三角形，然後每兩個三角形兩兩組合拼成一個長方形。

如圖：

圓的分割

如圖，對圓分割的次數越多，分割出來的圖形越接近三角形，拼成的圖形越接近長方形。利用圓的周長等於2πr，可以看出，拼成的長方形長為πr，寬為r，所以面積為

πr²。

於是我們得到圓面積公式S=

πr²

萬物有聯絡，學一要知百

到這裡，我們可以初步得出結論，大部分的圖形面積無論如何形式，最終落腳於長方形的面積公式S=ab。

只要知道長方形面積公式，再利用一些方法，就可以計算任何圖形面積。

所以這就要求我們，在學習和工作中，要找到事物之間的聯絡，做到學一而知百，觸類而旁通，源深而流長。

限於時間和個人能力，本人能夠探討的內容有限，其中不免有偏頗謬誤之處，敬請交流指正。