數與算術的本質——西方數學和哲學的千古難題

理性的真正物件就是理性。我們在算術中處理的物件，不是透過感官的中介獲知的、來自外部的陌生事物，而是直接給予理性的物件，它們作為理性自身的東西是理性完全可以洞察的。——弗雷格

自古代以來，實際上數千年來，一直在反覆嘗試分析數學被奠基的概念，分析數學被建立其上的基本真理，以及分析使得數學總是作為嚴格科學演繹之典範的方法。——胡塞爾

儘管數學長期以來被視為知識與演繹方法的範例，但在數學基礎領域，不僅基本概念與基本原理含糊不清，而且事實上充滿了悖謬。以《幾何原本》為例，它最初的23個定義都是區分性和描述性的，不能真正說明幾何的研究物件。一般認為，《幾何原本》中的基本物件是點、線和麵，也還可以包括立體。關於點，《幾何原本》的第一個定義說“點是沒有部分的”，僅憑這個定義我們實際上不能理解點的確切意義，它顯然只是對點與線作了描述性區分。第三個定義說“線的兩端是點”，結合點的定義，我們似乎很難找到端點，從而線段也是可疑的。

按照《幾何原本》對線的處理，線上其實處處都是點，由於古希臘人的數學觀念中沒有0這個概念，如果我們把點理解為0的話，點與線的問題就更加困難。現代數學中常常把點解釋為一個特定的位置，點與點的差別表現為位置的差別，這似乎同樣沒有說明點自身是什麼。面對這樣的問題，即使是像希爾伯特這樣傑出的學者也是避而不談的。

在算術中，基本概念與基本原理方面的問題更加困難。在幾何中，人們對幾何物件的理解最終可以訴諸對可感圖形的直觀，但在算術中直觀基本上是無效的。例如，人們都能看見三個蘋果，也能意識到這些蘋果的數是3卻無法看見這個3。自柏拉圖以來，人們清楚地知道數學必須是獨立於經驗世界的理論科學，但如果連基本物件和基礎概念都不能明確並只能依賴感性，數學就不配科學之名。上面所引述的弗雷格與胡塞爾的話，反映了數學必須是科學但又難以成為科學的困境。嚴格說來，從《幾何原本》開始的公理化方法，即使能建立一個無可挑剔的公理系統，也是退而求其次的辦法。

弗雷格在《算術基礎》中認為，數不能透過直觀而獲知恰恰表明數是理性的物件，與幾何是先天綜合的不同，算術是先天分析的，算術的可靠性不需要經驗驗證。弗雷格試圖透過嚴密的定義無歧義地把握個別的數，並透過建立算術公理系統使算術成為真正的科學。胡塞爾認為弗雷格的邏輯定義不僅不能把握到數的本質，也歪曲了數的本質。他在批評弗雷格時提出了一個值得關注的看法∶

人們只能定義邏輯上的複合物。一旦我們遇到終極的基礎概念，所有的定義都終止了。沒有人能定義如性質、程度、位置、時間和類似的概念。這也適於基本關係和奠基於基本關係的概念。等同、相似、增加、整體與部分、多和一，等等，都是完全不適合形式邏輯定義的概念。

初始概念如果能被定義，它就不能是初始概念，這是數學基礎問題的兩難困境。

在胡塞爾看來，如果像幾何的點、線和算術的數等初始概念不可能透過任何定義而被澄清，就只能透過哲學才能澄清它們的本質，

探討數學基礎問題實際上是一件哲學工作

。受布倫塔諾和施通普夫的影響，胡塞爾認為只有回到基礎概念得以產生的具體現象並分析與之相關的抽象過程和心理行為，基礎概念和數學的本質才可能徹底澄清。由此，弗雷格與胡塞爾之間產生了巨大的分歧。

數與算術的本質問題被譽為西方數學和哲學的千古難題，並至今仍然是數學哲學的核心難題。

現代數學哲學的兩個基本問題，自然數和連續統（即實數），其實是數的本質問題的一體兩面。要研究數與算術的本質，我們必須先確定我們的研究物件。就數而言，儘管一些古老的智慧民族已經學會了數數但嚴格的數概念是由畢達哥拉斯學派建立的。這種數是∶

以上四種不同表達實質上是一致的，即數是由若干單位1組成的，也就是基數，絕大多數西方學者都是把數理解為基數。現代數論無論多麼複雜，它的出發點就是這種自然數列。由此，我們也確立了算術哲學的研究物件。把數理解為

多

並構造為

嚴整的

自然數列，這個貢獻出自畢達哥拉斯學派。之所以說這些數是嚴整的，因為其中的1是處處相互等同的，算術哲學中的很多難題總是與這種1相關。畢達哥拉斯學派對數的研究非常獨特和深刻，我們甚至至今還不能完全理解他們的成就。羅素就曾很有見地地指出，

起始於數理神秘主義的畢達哥拉斯的學說，對所有後來哲學和數學的影響比一般理解要更深刻。

掌握了中級數學的人都能準確理解和應用自然數，在數學分析之外更多的數學知識對於理解算術哲學的基本問題助益不大，只有回到哲學史才能把握算術哲學的問題所在。具體說來，數學和數學哲學本來就是古希臘學者所發現的，其中的問題也是古希臘思維所特有的問題。

在日常生活中，我們對數如此熟悉，恰如洛克所指出的，“數是最簡單最普遍的觀念”，同時也是最清晰的觀念，“二與一的差別，正同二百與一的差別，以及二的觀念與三的觀念之差別”，都是釐然分明的。

英國經驗論者的觀念都出自對物理物件的印象，但物理事物和相應的印象都會消亡，數的觀念會由此消亡嗎？如果數存在於這些印象之中，數就不能是非時空的超越之物；如果數不是印象之中的東西，我們怎麼可能透過印象而得到相應的觀念？由此可見，

數概念的清晰性是有限的

，但這種日常的清晰性很可能是古希臘之外的民族沒有發現數的本質問題的重要原因之一。

不少學者並不認為數是普遍的概念，但弗雷格與胡塞爾都認為數是最普遍的，即能夠適用於任何現實事物和任何可想象的事物。但隨著羅素悖論的出現，數與算術的普遍性是需要謹慎對待的。

儘管不知道數是什麼，而且所有關於數的本質定義最終都是失敗的，但似乎必須承認在日常生活中我們已經“默會”了數的本質，因為我們能夠熟練且毫無差錯地運用算術，我們也無法想象全部數學中的算術可能是不對的。胡塞爾認為這種默會的數就是數在生活世界中的意義，這種數是《算術哲學》的重要前提，事實上也是弗雷格算術哲學的基本前提。

相對於弗雷格的《算術基礎》曾經一度被埋沒，《算術哲學》的價值被埋沒得更久。《算術哲學》被忽視的原因很多，主要原因之一是被弗雷格指責為犯了心理主義的錯誤，之二是其中的心理學方法儘管在胡塞爾的時代非常流行，但對現代學者卻是極其陌生的。

在研究算術哲學方面，弗雷格的《算術基礎》和胡塞爾的《算術哲學》是哲學史上迄今為止成就最高的兩部專著。弗雷格和胡塞爾的相關研究不僅在數學哲學史上非常重要，而且在哲學史上也產生了深遠影響，數學再次在哲學發展的關鍵時點扮演了舉足輕重的歷史角色。法國學者布林多曾把弗雷格與胡塞爾比作萊茵河和多瑙河，二者有共同的起源卻最終相距成千上萬裡。兩人的影響所及，正是20世紀最重要的兩大哲學運動———分析哲學和現象學的分裂。正是因為《算術基礎》和《算術哲學》在兩個不同方向上的獨特地位，所以二者構成了我們研究算術哲學的主要文字。