[人教版六年級數學]方案選擇中"買幾送幾"和"滿幾減幾"問題的探究

餘數有0這種說法嗎

在人教版六年級數學下冊第二單元百分數部分，我們經常會遇到方案選擇問題。在這個問題中，我們最常見的就是“買幾送幾”和“滿幾減幾”的問題，而大部分學生在此處存在一些困難，現我們將其進行詳細解讀，深入研究，以幫助同學們理清此類問題的解題思路。

在“買幾送幾”和“滿幾減幾”的問題中，我們可以將其分為四種情況，現以超市購物舉例如下：

情況一：超市舉行促銷活動，一種商品，買10送3，現購買28件，那麼實際可得到多少件？

情況二：超市舉行促銷活動，一種商品，買10送3，現實際需要28件，那麼理論上應購買多少件？（注意與情況一的區別）

情況三：超市舉行促銷活動，滿100元減10元，現在超市購買了 280元的商品，那麼結賬時實際應支付給超市多少元？

情況四：超市舉行促銷活動，滿100元減10元，現身上帶有280元，那麼可在超市購買到多少元的商品？（注意與情況三的區別）

上述四種情況，就是本課題中常見的四種情況，我們可以將其分為兩大類，情況一和情況二歸為“買幾送幾”問題，情況三和情況四歸為“滿幾減幾”問題。每一大類均存在兩種情況，我們將其稱為正推問題和反推問題。

情況一和情況三，我們將這兩種情況簡單稱為正推方式，把28件，和280元稱為理論值，把要求的實際件數和實際應付款稱為實際值，即由理論值求實際值。反之，我們把情況二和情況四稱之為反推方式，把實際需要的28件，和身上帶的280元稱為實際值 ，把要求的理論上應購買的件數和能買到多少元的商品稱為理論值，即由實際值求理論值。

現在我們分別對正推方式和反推方式進行深入探究。

一、 正推方式

即情況一和情況三，這是同學們最為擅長的方式，也是最好理解的方式，這裡不做過多贅述。買10送3，只需看28中有幾個10；滿100元減10元，只需看280元中有幾個100元即可。

解題過程參考如下：

情況一：

28÷10=2

······

8

28+2×3=34（件）

即購買28件，實際可得到34件。

情況三：

280÷100=2

······

80

280-2×10=260（元）

即消費280元，實際結賬時只需支付260元。

二、 反推方式

即情況二和情況四，反推方式是較為複雜的一種方式，但其仍有規律可循，只要掌握其規律，做題將易如反掌。下面我們將“

買10送3”和“滿100元減10元”這兩種情況分開討論：

1、 買10送3

我們實際需要28件，那麼理論上我們在超市購買多少件就可以呢？因為有滿10送3活動，我們在購買時理論上會少於28件。那麼如何快速準確地推出理論值呢？我們可以這樣理解：滿10送3，即當達到10件時，我們實際可得到13件。那麼，我們可以看28件中有幾個13，

28÷（10+3）=2

······

2，28中有2個13，在這2個13中，我們只需購買2×10=20件，因為2×3=6件會送給我們。這是對

28÷（10+3）=2

······

2中的商2的處理方式，那麼這個餘數2應該怎麼理解呢，因為這個餘數2小於10件，不會發生贈送現象，所以只需在上面得到的20件中加上2即可。即理論上購買22件，那麼實際便能得到28件。

解題過程參考如下：

28÷（10+3）=2

······

2

2×10+2=22（件）

注意，2×10+2=22中第一個2為商，第二個2為餘數。

正推方式進行驗證：

22

÷10=2

······

2 （解釋：22中有2個10，會贈送2×3件）

22+2×3=28（件）

由此可見在反推過程中，我們可以用實際需要的件數（例如情況二中的28件）除以買幾（記為m）送幾（記為n）中的m+n，然後透過商和餘數來繼續解答。

不過同學們需要注意，這裡有兩個特殊情況需要特別強調。

① 無餘數情況

無餘數情況其實準確來說並不屬於特殊情況，我們可以將其理解為餘數為0，仍按照上述規律處理。例如，還是滿10送3中，實際需要26件，那麼我們按照上述規律可以這樣解答：

26÷（10+3）=2

2×10+0=20（件） 或2×10=20（件）

即實際需要26件，理論上只需在超市購買22件即可。

正推方式進行驗證：

20

÷10=2

（解釋：20中有2個10，會贈送2×3件）

20+2×3=26（件）

② 餘數會發生贈送情況時

餘數會發生贈送情況，是指餘數大於“買幾（記為m）送幾（記為n）”中的m值，例如情況二中的“買10送3”中的10。我們透過例子來理解，我們將情況二中的實際需要28件，更改為實際需要37件，那麼按上述規律進行解答應為：

37

÷（10+3）=2

······

11

2×10+11=31（件）

也就是說我們想要得到37件，理論上需要購買31件。

正推方式進行驗證：

31÷10=3

······

1

31+3×3=40（件）

我們發現購買31件，實際會得到40件，這大於我們需要的37件，那麼如果我們少買1件呢，即30件：

30÷10=3

30+3×3=39（件）

購買30件，實際仍然大於37件，我們繼續試驗購買29呢？

29÷10=2

······

9

29+2×3=35（件）

我們發現，此時35件已經小於37件，已不符合要求，且無須再用更小的數嘗試。看到這裡，我們會發現，我們根本無法在超市購買到37件。要麼大於37，要麼小於37。那麼根據此題意，我們只有選擇多買而不能少買，也即，我們只能選擇理論上購買30件，實際將得到39件。

根據大量的資料試驗，我們發現，當出現特殊餘數時，會出現無法得到實際數的問題。此時，我們要根據題意來判斷，是多買還是少買的情況。

那麼我們是怎麼處理特殊餘數呢？透過上面的資料可以發現，我們可以採用捨去餘數，商進一的方法，繼續按以前的規律來處理，例如：

37

÷（10+3）=2

······

11（將餘數11捨去，2進1為3，結果約等於3）

3×10=30（件）（採用上面的3的結果）

此處上面已經驗證過，不再驗證。

還有一個問題，什麼是特殊餘數。我們知道，在除法中，餘數一定小於除數，那麼在買10送3的問題，餘數一定會小於10+3=13，但可能會大於等於10，而此時將會出現贈送情況，所以不能簡單的按以前的方法簡單的加上即可。此時的特殊餘數的範圍為：

10=<特殊餘數<13，即10，11，12。

同理，若買20送5，由特殊餘數的範圍為：

20=<特殊餘數<25，即20，21，22，23，24。

總結為：買幾（記為m）送幾（記為n）中，特殊餘數為：

m=<特殊餘數

2、 滿100元減10元

我們身上帶有280元，那麼在超市理論上能購買到多少元的商品呢，我們當然能買到超過280元的商品。此類問題與買10送3的問題雖然情況相反，一個是送（即多），一個是減（即少），但可類比推出其規律。我們可以這樣理解，滿100減10元，當我們消費達到100元時，實際我們只需要支付100-10=90元。我們可以看看280元中有幾個90即可，280÷（100-10）=3

······

10，280元中有3個90，那麼我們至少可以買到3×100=300元的物品，而餘數10元，不滿100，不會出現減免的情況，只需要在300上加上這10元即可。

解題過程參考如下：

280÷（100-10）=3

······

10

3×100+10=310（元）

也就是，我們帶有280元，理論上可以超市購買到310元的商品。

正推方式驗證如下：

310÷100=3

······

10

310-3×10=280（元）

由此可見在反推過程中，我們可以用實際值（即身上帶的錢，或理解為最終給超市結賬的錢）（例如情況四中的280元）除以滿幾（記為m）減幾（記為n）中的m-n，然後透過商和餘數來繼續解答。

那麼此類情況是否有特殊餘數出現呢，仍然參考情況四，

280÷（100-10）=3

······

10，餘數10一定會小於90，而這裡90=100-10一定小於100。也就是餘數一定小於除數，而除數是滿幾（記為m）減幾（記為n）中的m-n，也小於m，所以，餘數不會出現大於m的情況，也就不會出現減免的情況。故滿幾減幾的問題中，沒有特殊餘數的出現。

透過上面的分析，在

方案選擇中“買幾送幾”和“滿幾減幾”的正推和反推問題，我們已經做了詳細的探究，相信同學們只要多加理解，在做此類題目時一定能如魚得水。現將它們的規律總結如下（見表格）：

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