尤拉時代，數學家對函式概念的錯誤認知，被傅立葉一篇論文糾正

在尤拉的時代，變數和常數透過算術運算、三角運算、指數和對數運算構成的表示式，被尤拉稱為“解析函式”。此外，尤拉考慮了“表示隨意地畫出的曲線的函式”，並稱之為“隨意函式”。在尤拉的時代，函式的概念由積分而進一步推廣。即：考慮任意的解析函式

，其積分

表示的式子，表示

和與

軸平行的兩直線及

軸所圍圖形的面積，而這種反映幾何關係的

也可定義為函式，但這種函式就不一定是“解析函式”。

3類曲線

解析函式與積分的結合，函式的概念經過萊布尼茨、尤拉、伯努利的改造，使得函式的範疇由“解析函式”擴充到幾何學上的函式。在那個時代，幾何學中的曲線被分為3類：

第一類，能用一句話表明曲線本質或一個表明曲線本質的等式來定義；例如圓的本質，曲線上任一點到一定點的距離為常數；

第二類曲線，不能用一句話或一個等式表明其本質；

第三類曲線，由兩條以上的第一類曲線構成的曲線。

在上述3類曲線中，第一類總能用一個解析式

或

來表示，而其餘的曲線不能由一個解析式表示。因此，把表示第一類曲線的解析式看作“連續函式”或“真函式”，其餘函式為“偽函式”。

在這樣的背景下，人們對於函式還有以下的一些認識：

由連續曲線所定義的函式，仍然是連續函式，且一定是真函式；

透過把不連續的曲線、折線拆分為兩條或多條曲線、折線，而建立的是多個函式的集合，是絕不可能用一個解析式表示的；於是，人們用“能否僅用一個式子表示”來區別真函式和偽函式；

如果兩個函式，在區間［a，b］上的函式值相等，那麼，對［a，b］以外的函式值也相等；

只有週期性的曲線，才可用三角函式類的週期函式表示。

事實上，上面的認識幾乎全部都是錯誤的！這對那個時代的人來說，絕對是顛覆性的。他們做夢也沒想到：任意曲線都可用週期函式表示；可用一個式子來表示不連續的線；兩個函式在一個區間上恆等，並不意味著在區間之外也相等。而這幾個謬誤，都由傅立葉發表的“能用三角函式的級數表示函式”的論文而一一指出。

傅立葉

最初人們認識到：若對n+1個x的值，兩個n次多項式

的值都相等，則兩個多項式就是恆等的。由此，當時的數學家也認為，對任意兩個函式

和

，若對無窮多個x的值相等，那麼兩者就相同。很明顯，這是不嚴謹地。

傅立葉的糾正

1807年，傅立葉發表題為《熱的分析理論》的論文，論文中證明了“由不連續的線給出的函式，能用一個三角函式式來表示”。例如下面的分段函式，用3個式子表示：

其中，

為整數。

【

傅立葉的第一個糾正

】傅立葉證明了，上面這個不連續的線，可唯一地用一個式子

來表示。由此可知，該不連續線既可以用一個式子表示，也可用多個式子表示。因此，“能否用一個式子表達”是不能作為判別“真函式”和“偽函式”標準的，這也是傅立葉對函式概念的第一個貢獻。

【

傅立葉的第二個糾正

】方程

表示一條與

軸平行的直線，該直線與

所表示的線，在區間

上是重合的，但在區間

上，卻是沒有交點的。該事實清楚地表明，當時世人對函式的這種相等的認知是荒謬的。

【

傅立葉的第三個糾正

】根據傅立葉的研究，不僅週期函式，任意的連續函式

，在

的範圍內，都可以用正弦、餘弦這樣的週期函式來表示。這也是最出人意料的一點，當時的數學家所完全未能考慮到的。

傅立葉的研究表明，關於函式的傳統觀點從根本上說都是錯誤的。自此之後，數學家陸續發現了同一條線既可用一個表示式，也可用兩個以上的表示式表示的例子。從而使得，尤拉時代所謂的“真函式”失去了意義，也促進了柯西尋求函式新的定義。

想了解更多精彩內容，快來關注究盡數學