旋轉題型：找全等或相似

題目：2020丹東中考數學第25題

25．（12分）已知：菱形ABCD和菱形A′B′C′D′，∠BAD＝∠B′A′D′，起始位置點A在邊A′B′上，點B在A′B′所在直線上，點B在點A的右側，點B′在點A′的右側，連線AC和A′C′，將菱形ABCD以A為旋轉中心逆時針旋轉α角（0°＜α＜180°）．

（1）如圖1，若點A與A′重合，且∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，求證：BB′＝DD′．

（2）若點A與A′不重合，M是A′C′上一點，當MA′＝MA時，連線BM和A′C，BM和A′C所在直線相交於點P．

①如圖2，當∠BAD＝∠B′A′D′＝90°時，請猜想線段BM和線段A′C的數量關係及∠BPC的度數．

②如圖3，當∠BAD＝∠B′A′D′＝60°時，請求出線段BM和線段A′C的數量關係及∠BPC的度數．

③在②的條件下，若點A與A′B′的中點重合，A′B′＝4，AB＝2，在整個旋轉過程中，當點P與點M重合時，請直接寫出線段BM的長．

問（1）△BA’B’≌△DA’D’（SAS）要會找旋轉過程中角度和邊長相等（成比例）

BB′＝DD′得證。

問（2）①中考題目的幾何圖一般都是製圖軟體畫出來的，比較準，實在想不出時可以量一量、算一算，木木真的量過啊，大概是根號2倍，是正方形對角線與邊長的關係。

△A’MA是等腰直角三角形。找一找兩邊所在可能相似的三角形。

∠A’AC=45°+∠MAC；∠MAB=45°+∠MAC

A’A/MA=AC/AB=根號2

△A’AC∽△MAB，A’C/MB=根號2

∠BMA=∠CA’A，找到對頂角相等，則∠MPA’=∠MAA’=45°

∠BPC=∠MPA’=45°

②

思路與上一問相似，△A’AC∽△MAB，這裡有個小小的結論最好記住，底角30°的等腰△的底邊與腰長的比值是根號3。

A’C/MB=A’A/MA=根號3。

∠BPC=∠1+∠2；∠1=∠CA’A-30°；

∠2=∠3，∠3=∠AMC-∠AMB。

∠CA’A=∠AMB，∠AMC’=180-120=60°

∠BPC=∠1+∠2=∠CA’A-30°+60-∠CA’A=30°

③這個題的關鍵是根據題意畫出圖形

BM的長度不用直接求，利用之前的關係式A’C/MB=根號3

過點A作AH⊥A’C’於點H。

計算還是簡單，A’H=根號3，HC=根號11。A’C=根號3+根號11

不要忘記除以根號3。MB=（根號33+3）/3。

旋轉α角（0°＜α＜180°），也就是AB可以無限接近到另一側的AA’上（永遠不到），上圖還沒有到吧，所以這情況也成立。

同理，可以求出MB=（根號33-3）/3