高中數學，指數函式與零點相結合，新題型新解法，不知這些易錯

01

原題型別

已知函式f（x）=3^x+3^（－x）+2x^2－3，若函式g（x）=|f（x）|－㏒（x+2）（以a為底）（a>0，a≠1）在區間［－1，1］上有4個不同零點，則實數a的取值範圍是多少？

A。（1/3，1/2）

B。（2，+∞）

C。［3^（3/7），2）

D。［3^（3/7），+∞）

圖一

該題時一個函式與方程的題型，也是高考常考的內容，所以該模組各個型別題均需要掌握。

該題的解題關鍵就是得到函式f（x）的影象和f（x）絕對值的影象。

但是對於給出的含有指數函式，又函式二次冪的函式怎麼才能得到該函式的影象呢？

要先求這些自然是離不開該對該函式進行求導，得知該函式的單調性。

下面我們就講解題的過程中來仔細的說明。

02

思路和解法

該題的思路：

首先，將函式g（x）=|f（x）|－㏒（x+2）（以a為底）（a>0，a≠1）在區間［－1，1］上有4個不同零點進行轉化，轉化成|f（x）|=㏒（x+2）（以a為底）的形式，這個形式就可以看成是函式f（x）和函式y=㏒（x+2）（以a為底）有四個交點的問題。

其次，根據函式的單調性得出函式f（x）的大致圖形。

再次，根據函式f（x）的大致影象得到函式f（x）絕對值的大致影象。

最後，將得到的f（x）絕對值的大致圖形與函式y=㏒（x+2）（以a為底）不斷的變化，得出四個交點情況下a的範圍。

該題的解法：

第一步，對函式f（x）進行求導得出該函式的單調性。

函式f（x）的一次導數為f＇（x）=3^x·㏑3+（－1）·3^（－x）·㏑3+4x——這裡需要注意的是3^（－x）的求導，別求錯了。

整理得到一次導數f＇（x）=㏑3［3^x－3^（－x）］+4x。

當x∈（0，1］時，一次導數f＇（x）>0恆成立，所以函式f（x）在區間（0，1］是單點遞增的。

因為函式f（x）=3^x+3^（－x）+2x^2－3，f（－x）=3^（－x）+3^x+2x^2－3，所以f（x）=f（－x），且區間［－1，1］關於原點對稱，所以函式f（x）是偶函式。

綜上所述，當x∈［－1，0）時，函式f（x）是單點遞減的。

第二步，得出函式f（x）的影象。

當x=0時，f（0）=1+1+0－3=－1；

當x=－1時，f（－1）=1/3+3+2－3=7/3；

當x=1時，f（1）=3+1/3+2－3=7/3。

根據函式f（x）在區間［－1，1］上的單調性和一些特值得函式f（x）的影象為

圖二

有的同學會說：“函式f（x）影象和x軸的交點是什麼？”其實我們可以先不糾結這點，可能後面用不到。

第三步，根據函式f（x）影象得到函式f（x）絕對值的圖形。

f（x）加上絕對值後，就是將函式f（x）的影象在x軸下方的部分根據x軸對稱到x軸上面去，即f（x）絕對值的圖形為

圖三

第四步，得出a的取值範圍。

因為函式y=㏒（x+2）（以a為底）過定點（－1，0），且在0

圖四

則函式y=㏒（x+2）（以a為底）中的引數a>1的。

當a>1時，為了確保函式f（x）的絕對值和函式y=㏒（x+2）（以a為底）有四個交點，則函式y=㏒（x+2）（以a為底）的影象在x=0時還要低於1這個值。

如圖五：

圖五

則㏒（0+2）（以a為底）<1，即㏒2<㏒e（都是以a為底），解得到a>2。

綜上所述，a的去追範圍為（2，+∞），所以答案選B。

03

總結

該題主要考察的是函式f（x）的性質。

該題中函式f（x）的性質：該函式是偶函式，該函式的單調性，該函式的特殊點。

該函式與x軸的交點，我們不易得知，所以遇到這樣的情況可先往後做，因為後面解題的過程中可能用不到，但是還是要得出該函式f（x）與x軸的交點範圍，否則無法作圖。

還需要注意的是：零點問題的轉化以及求導過程中3^（－x）的求導，這個數在求導時易錯。

有關文章：

高中數學，三無抽象函式的解法，經典題型，會此題，該類題均會用

高中數學，中心對稱點在抽象函式中使用，經典題型，經典方法須知

求抽象函式與絕對值函式交點橫座標前n項和？重要知識點只說一次

高中數學，指數函式易錯題，不知這些很難改正，要這樣解才能防錯

高中分段函式，該題解題在這，想學好數學，積累各題型解法很重要

上述文章都是不同的型別題，想學好這塊就要積累各個型別題以及該型別的解法。

想了解更多精彩內容，快來關注玉w頭說教育

2021新版衡水重點中學狀元手寫筆記高中英語文數學歷史地理政治生物理化學升級版6。0學霸提分筆記高

檢視