《九章算術》：中國古代數學體系的形成

《九章算術》：中國古代數學體系的形成

2020年12月4日，合肥，中國科學技術大學，一臺名叫“九章”的量子計算機原型誕生，躥紅網路——其計算速度比目前最快的超級計算機“富嶽”（Fugaku）快一百萬億倍！

據有“中國量子之父”之稱的潘建偉院士介紹，取名九章，是為了紀念中國古代著名的數學著作《九章算術》。

▲光量子干涉實物圖

一：中國數學的獨特性與《九章算術》

從人類進入文明社會開始，不同文明下的人們，都自然而然地產生了數的概念，由此出現了數學的萌芽，走上了或同或異的發展道路。

在古代中國，數學幾乎總是緊密地與現實生活的需要聯絡在一起，精於計算和算術，走上了一條獨特的發展道路。從清華大學藏戰國竹簡的《算表》，我們就可以看到這種特色。

▲清華大學藏戰國竹簡《算表》

隨著秦漢大一統帝國的建立，帝國的社會治理需要解決大量的土地丈量、賦稅徵收、工程建設等實際問題，由此催生了對數學的更為迫切的需求。《九章算術》就是在這樣的時代背景下產生的集大成之作。人們只要按照書中規定的步驟進行計算，就能夠解決日常生活中的各種問題。

一般認為，西漢立國以後，官府中存放有大量的數學題簡，用來指導官吏解決各類實際數學問題，後來經過張蒼、耿壽昌、桑弘羊、劉歆等多人的增補和整理，在西漢末至東漢前期形成定本，最終以《九章算術》之名傳世，它是1984年《算數書》（湖北張家山漢墓）出土前，已知最早的中國數學專著。

▲中國古代數學家劉徽（約225年－約295年）

三國時期的劉徽，專門對《九章算術》做了詳細的註解，補充了很多定義、概念以及證明過程，形成了我們今天看到的《九章算術》版本。到唐代，《九章算術》成為了明算科學生最重要的數學教材，位列《算經十書》之首。

據記載，明算科的考試總共有十道試題，其中有三道出自《九章算術》。可見《九章算術》在古代的無上地位，與儒家的五經、兵家的《孫子》相當，甚至可以說，《九章算術》象徵著中國古代數學本身。

▲《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數學專著

二：《九章算術》的具體內容和數學成就

對《九章算術》，今天我們大多數人只聞其名，至於其具體內容是什麼，則不甚了了。

九章，其實就是九類數學問題，即方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股。

方田，是土地丈量問題，即計算平面圖形的面積；粟米，是穀物和糧食的按比例折算問題；

衰分，是按比例分配的問題；

少廣，是已知面積、體積，求邊長、直徑的問題，涉及到開平方、開立方等；

商功，是土方工程計算問題；

均輸，是解決合理負擔和攤派賦稅的問題；

盈不足，是在進行物品分配時，已知每次分配的盈虧結果，求解物品總量和人員數量的問題（小學奧數中常見的雞兔同籠問題，雖然是出自另一部數學著作《孫子算經》，但也可用盈不足術輕鬆求解）；

方程，用於處理關係複雜，又雜糅正負的問題，實質上，是求解一次方程組的問題；

勾股，是運用勾股定理求解高深廣遠等測量方面的問題。

這九大類，包括246道具體的數學問題，大體上按照從簡單到複雜的原則編排。每一道題，都以“今有……，問……幾何？”發問，然後以“答曰……”作答，在某一道題或某一類問題的後邊，往往會加上“術曰……”，即解釋一下通用的計算方法，全書共給出了202種“術”。

▲清道光刻本《九章算術》

說到這裡，有的讀者可能會認為，《九章算術》不就是一本數學習題集嘛，這麼說也沒錯，但是，這部習題集的難度和反映出的數學思維卻不簡單。

比如，從現代人的角度看，“方田”章中引入了分數的加減乘除運演算法則，提出了透過輾轉相除法求解最大公約數的方法；

“少廣”章中提出了詳細的開平方、開立方的方法；

“商功”章提出了多種立方體體積的計算公式；

“盈不足”章中的盈不足術，就是所謂的“雙設法”，一度風靡整個歐亞大陸，被稱為“契丹演算法”；

“方程”章則在世界數學史上首次提出了負數運算的概念和完備的線性方程組解法，也就是今天通稱的高斯消元法；

“勾股”章提出了勾股定理的一般形式，即“勾股各自乘，並而開方除之，即弦”（雖然從時間上來說，比畢達哥拉斯、歐幾里得等人要晚，但仍然是中國數學史上的一個重要成就）。

▲畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年~約前500（490）年）

三：兩種數學傳統：《九章算術》vs《幾何原本》

東方有《九章算術》，西方則有《幾何原本》，同為數學經典，但兩者在形式、內容和主旨上大相徑庭，反映的是兩種截然不同的數學傳統。

古希臘的數學具有希臘哲學的氣質，重視思辨、崇尚邏輯、追求理想，在此基礎上形成的希臘數學傳統，注重公理和演繹，重視幾何圖形，歐幾里得的《幾何原本》就是這種傳統的典型產物，它從五大公設出發，構建了公理化體系的幾何學。

▲《幾何原本》最早的印本（1492）

而《九章算術》則是在統一的中央集權大帝國的背景下，從官方的數學資料和應用實踐中發展完善起來的，注重實踐，推崇經驗，講求實用，重視的是從不同的應用領域中抽象出數學問題，構造簡捷的機械化的演算法體系，奠定了中國數學傳統的框架。

因此，在解決古代日常生活中遇到的各種實際數學問題方面，《九章算術》較之同時期乃至此後數百年間世界各地的各種數學著作，都具有極大的優勢，甚至超過了西歐中世紀晚期的絕大多數算術書籍。作為一部產生於2000年前的作品，這已經足夠讓人驚歎。

《九章算術》開創的中國數學的這種構造化、機械化、演算法化、實用性的傳統，在後代又有繼承和發展，直到宋元時期，隨著中國數學家們對高次方程、方程組解法的探討而達到巔峰。

▲《九章算術》

遺憾的是，這種傳統到明代以後便停滯不前，《九章算術》等重要中算典籍居然都大多失傳。等明末西學東漸之時，傳統中算在西方數學的衝擊下，和天文曆法一樣潰不成軍。清朝時期的學者，對《九章算術》等中算古籍的發掘和研究，卻只是用來證明康熙提出的“西學中源說”，“我祖上比你闊多了”，想來令人唏噓。

作為現代人，我們學習數學，不必再去看《九章算術》，但是要深入地瞭解中國古代的數學成就，洞悉中國古人的思維方式，《九章算術》則是一個很好的切入點。

【參考資料】《九章算術 》