數學知識點——立體幾何初步

球檯幾何圖形計算公式

立體幾何初步

1。1。1 構成空間幾何體的基本元素柱

1。1。2 稜、稜錐和稜臺的結構特徵

1。1。3 圓柱、圓錐和圓臺的結構特徵

1。1。4 投影與直觀圖

1。1。5 三檢視

1。1。6 稜柱、稜錐和稜臺的表面積

1。1。7 柱、錐和臺的體積

稜柱表面積A=L*H+2*S，體積V=S*H

（L——底面周長，H——柱高，S——底面面積）

圓柱表面積A=L*H+2*S=2π*R*H+2π*R^2，體積V=S*H=π*R^2*H

（L——底面周長，H——柱高，S——底面面積，R——底面圓半徑）

球體表面積A=4π*R^2，體積V=4/3π*R^3

（R-球體半徑）

圓錐表面積A=1/2*s*L+π*R^2，體積V=1/3*S*H=1/3π*R^2*H

（s——圓錐母線長，L——底面周長，R——底面圓半徑，H——圓錐高）

稜錐表面積A=1/2*s*L+S，體積V=1/3*S*H

（s——側面三角形的高，L——底面周長，S——底面面積，H——稜錐高）

長方形的周長=（長+寬）×2 正方形 a—邊長 C＝4a

S＝a2 長方形 a和b－邊長 C＝2（a+b）

S＝ab 三角形 a，b，c－三邊長 h－a邊上的高

s－周長的一半 A，B，C－內角 其中s＝（a+b+c）/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝［s（s-a）（s-b）（s-c）］1/2a2sinBsinC/（2sinA） 四邊形 d，D－對角線長 α－對角線夾角 S＝dD/2·sinα

平行四邊形 a，b－邊長 h－a邊的高 α－兩邊夾角 S＝ah ＝absinα

菱形 a－邊長 α－夾角 D－長對角線長 d－短對角線長 S＝Dd/2

＝a2sinα 梯形 a和b－上、下底長 h－高

m－中位線長 S＝（a+b）h/2 ＝mh d－直徑 C＝πd＝2πr

S＝πr2 ＝πd2/4 扇形 r—扇形半徑 正方形的周長=邊長×4 長方形的面積=長×寬

正方形的面積=邊長×邊長 三角形的面積=底×高÷2 平行四邊形的面積=底×高

梯形的面積=（上底+下底）×高÷2 直徑=半徑×2 半徑=直徑÷2 圓的周長=圓周率×直徑= 圓周率×半徑×2 圓的面積=圓周率×半徑×半徑

長方體的表面積= （長×寬+長×高＋寬×高）×2 長方體的體積 =長×寬×高 正方體的表面積=稜長×稜長×6正方體的體積=稜長×稜長×稜長 圓柱的側面積=底面圓的周長×高

圓柱的表面積=上下底面面積+側面積 圓柱的體積=底面積×高

圓錐的體積=底面積×高÷3 長方體（正方體、圓柱體）

的體積=底面積×高 平面圖形 名稱 符號 周長C和麵積S a—圓心角度數

C＝2r＋2πr×（a/360） S＝πr2×（a/360）

弓形 l－弧長 b－弦長 h－矢高 r－半徑 α－圓心角的度數 S＝r2/2·（πα/180-sinα） ＝r2arccos［（r-h）/r］ -（r-h）（2rh-h2）1/2

＝παr2/360 - b/2·［r2-（b/2）2］1/2

＝r（l-b）/2 + bh/2

≈2bh/3 圓環 R－外圓半徑 r－內圓半徑 D－外圓直徑 d－內圓直徑 S＝π（R2-r2）

＝π（D2-d2）/4 橢圓 D－長軸 d－短軸 S＝πDd/4

立方圖形 名稱 符號 面積S和體積V 正方體 a－邊長 S＝6a2 V＝a3

長方體 a－長 b－寬 c－高 S＝2（ab+ac+bc）

V＝abc 稜柱 S－底面積 h－高 V＝Sh 稜錐 S－底面積

h－高 V＝Sh/3 稜臺 S1和S2－上、下底面積 h－高 V＝h［S1+S2+（S1S1）1/2］/3

擬柱體 S1－上底面積 S2－下底面積

S0－中截面積 h－高 V＝h（S1+S2+4S0）/6

圓柱 r－底半徑 h－高 C—底面周長

S底—底面積 S側—側面積 S表—表面積 C＝2πr S底＝πr2

S側＝Ch S表＝Ch+2S底 V＝S底h ＝πr2h

空心圓柱 R－外圓半徑 r－內圓半徑

h－高 V＝πh（R2-r2） 直圓錐 r－底半徑 h－高 V＝πr2h/3

圓臺 r－上底半徑 R－下底半徑

h－高 V＝πh（R2＋Rr＋r2）/3 球 r－半徑

d－直徑 V＝4/3πr3＝πd2/6 球缺 h－球缺高 r－球半徑

a－球缺底半徑 V＝πh（3a2+h2）/6 ＝πh2（3r-h）/3 a2＝h（2r-h） 球檯 r1和r2－球檯上、下底半徑

h－高 V＝πh［3（r12＋r22）+h2］/6 圓環體 R－環體半徑

D－環體直徑 r－環體截面半徑 d－環體截面直徑 V＝2π2Rr2 ＝π2Dd2/4

桶狀體 D－桶腹直徑 d－桶底直徑 h－桶高 V＝πh（2D2＋d2）/12 （母線是圓弧形，圓心是桶的中心）

V＝πh（2D2＋Dd＋3d2/4）/15

（母線是拋物線形）

三檢視的投影規則是：

主視、俯視 長對正

主視、左視 高平齊

左視、俯視 寬相等

點線面位置關係

公理一：如果一條線上的兩個點在平面上則該線在平面上

公理二：如果兩個平面有一個公共點則它們有一條公共直線且所有的公共點都在這條直線上

公理三：三個不共線的點確定一個平面

推論一：直線及直線外一點確定一個平面

推論二：兩相交直線確定一個平面

推論三：兩平行直線確定一個平面

公理四：和同一條直線平行的直線平行

異面直線定義：不平行也不相交的兩條直線

判定定理：經過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該店的直線是異面直線。

等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，且方向相同，那麼這兩個角相等

線線平行→線面平行 如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行。

線面平行→線線平行 如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線就和交線平行。

線面平行→面面平行 如果一個平面內有兩條相交直線都平行於另一個平面，那麼這兩個平面平行。

面面平行→線線平行 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線平行。

線線垂直→線面垂直 如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那麼這條直線垂直於這個平面。

線面垂直→線線平行 如果連條直線同時垂直於一個平面，那麼這兩條直線平行。

線面垂直→面面垂直 如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直。

線面垂直→線線垂直 線面垂直定義：如果一條直線a與一個平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線a垂直於平面α。

面面垂直→線面垂直 如果兩個平面互相垂直，那麼在一個平面內垂直於它們交線的直線垂直於另一個平面。

三垂線定理 如果平面內的一條直線垂直於平面的血現在平面內的射影，則這條直線垂直於斜線。

例題

對於四面體ABCD，（1）若AB=AC，BD=CD如何證明BC垂直於AD？（2）若AB垂直於CD，BD垂直於AC，如何證明BC垂直於AD？

證明：

（1）。取BC的中點F，連結AF，DF，則

∵AB=AC，BD=CD，

∴△ABC與△DBC是等腰三角形，

AF⊥BC，DF⊥BC。而AF∩DF=F，

∴BC⊥面AFD。又AD在平面AFD內，

∴BC

（2）。設A在面BCD上的射影為O。連結BO，CO，DO。則

∵CD⊥AB，CD⊥AO，AB∩AO=A，∴CD⊥面ABO。

而BO在平面ABO內，∴BO⊥CD。

同理，DO⊥BC。因此，O是△BCD的垂心，因此有

CO⊥BD。

∵BD⊥CO，BD⊥AO，CO∩AO=O，∴BD⊥面AOC。

而AC在平面AOC內，∴BD⊥AC。