如何得到穩定婚姻?獲諾貝爾獎的數學家研究得明明白白

經濟學獎獲得者中數學家眾多。這裡就以2012年諾貝爾經濟學獎為例。

兩位經濟學獎得主是哈佛大學商學院教授阿爾文·羅思和加州大學洛杉磯分校的勞埃德·沙普利，他們的主要貢獻是穩定匹配理論和市場設計。

穩定匹配理論廣泛地應用於實際生活中。例如，如何設計高考填報志願方法，如何將捐獻的器官分配到需要的病人，如何將實習醫生分配到各個醫院等。沙普利的主要貢獻是提供了一個理論上的最優方案，稱為“蓋爾-沙普利方法”（Gale-Shapley method）。

以高考填報志願為例，該方法的基本思想是，讓分數最高的人先報，每個大學挑選它最中意的學生，剔除掉其他候選人；然後讓分數次高的人填報，每個大學依次挑選最中意的人；最後直到所有學生都被錄取為止。這一機制可以確保公平和效率。目前，我國多數省份高考錄取採用的平行志願即是該理論的一種應用。

沙普利是美國傑出的數學家和經濟學家，對數理經濟學特別是博弈論理論作出過傑出貢獻，被認為是博弈論的化身。他也是1994年諾貝爾經濟學獎得主約翰·納什的博士同學，納什稱沙普利是自己的生活導師和朋友。

沙普利獲獎的最大原因是他和大衛·蓋爾於1962年透過研究所謂“穩定婚姻”所創的“蓋爾-沙普利方法”，其核心是市場匹配的合理原則應該是“情投意合”而非“價高者得”，也只有這個優美而英明的理論可以解釋為什麼有優秀未婚女性！

關於穩定婚姻問題（簡稱SMP），早在大約2500年前蘇格拉底就曾有精彩絕倫的論述：Byall means marry，If you get a good wife you will become happy and if you get a bad one you will become a philosopher。（千方百計要結婚，賢妻帶你走進天堂，悍婦造就哲學巨匠。）

約50年前，蓋爾與沙普利引入“穩定婚姻”，該問題如下：

設有N個想結婚的男子和N個想結婚的女子，他們每個人都對每個異性按照自己鍾情的程度給予排名（排名越靠前表示鍾情的程度越深），穩定婚姻問題的研究目標是找到某種匹配，使得每個人的婚姻都是穩定的。

什麼樣的婚姻才是穩定的呢？

首先，穩定婚姻當然應該是每個人都有自己的配偶（在男女人數不相同的情況下，應該使數目較小的那個性別的每個人都有配偶），其次，穩定婚姻匹配應該是沒有男子更鐘情於非妻子的某女子，同時該女子也更鐘情於該男子。換句話說，對於每一個人，其心目中比當前伴侶更好的異性都不會認為自己也是一個更好的選擇，請注意，穩定婚姻未必是使每個人都最為滿意的婚姻。

具有穩定婚姻的社會當然是美好而令人嚮往的，蘇格拉底眼中的婚姻當然都是穩定婚姻，但問題是穩定婚姻是否必然存在呢？

答案在蓋爾與沙普利的著名論文College Admissions and the Stability of Marriage（《高校招生與穩定婚姻》）中給出，根據蓋爾-沙普利定理——穩定婚姻必定存在。

按照中國的傳統，我們假定在每一輪“相親”過程中，每個男子都向其最為鍾情的女子求婚，而每個女子都採取最佳策略，即在任何一輪“相親”中都“暫時接受”當前所有求婚男子中她最鍾情者同時拒絕其他求婚的男子，並繼續等待她心中的白馬王子出現（隨即與其訂婚）。

可以看出，沒有任何一個男子是被其求婚的女子最為鍾情的，因此所有女子的策略都是“暫時接受”當前的求婚男子而並不與其“訂婚”，但是，由於沒有任何一個男子受到其求婚物件的拒絕，於是每個男子都不會發起第二輪求婚，所以第一輪相親獲得圓滿成功而成為最後的匹配。

在本例中，儘管所有女子均未等到她們的白馬王子，然而每個男子均成功地得到了各自的夢中情人，因此最終的匹配是使所有男子最為滿意的穩定婚姻。

可以總結出男子主動求婚的蓋爾-沙普利演算法如下：

第一輪先讓所有男子向自己最鍾情的女子求婚，然後讓所有女子挑選最中意的，並剔除所有其他人；

第二輪讓沒有被選中的男子再次向自己第二鍾情的女子求婚，然後讓所有女子挑選最中意的，並剔除所有其他人；

第三輪重複第二輪，直到所有人找到配偶為止。

蓋爾與沙普利還證明了下面十分有趣又令人深思的結論：

結論1：男子主動策略是男子的最佳策略！換句話說，每個男子的妻子是“最佳的”，即在穩定婚姻匹配中每個男子更鐘情的女子都會認為現在的丈夫更好。

結論2：男子主動策略是女子的最差策略！換句話說，每個女子的丈夫是“最差的”，即每個女子現在的丈夫是所有穩定婚姻匹配中她所最不心儀的男子。

蓋爾與沙普利關於穩定婚姻的理論至少有兩條價值連城的啟示：一是先下手為強，後下手遭殃！此條對適齡女生尤為重要，守株待兔等不到白馬王子，主動出擊方可能實現美好人生！二是通往諾貝爾經濟學獎的最短路線是數學！

作者：本文摘編自《數學的天空》，由張躍輝、李吉有、朱佳俊合著

編輯：儲舒婷

圖片來源：本報資料庫

【來源：文匯網】

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