七年級下學期，全等三角形中的輔助線，截長補短法的三種解題思路

七年級下學期，全等三角形中的輔助線，截長補短法的三種解題思路。截長補短法是全等三角形中常見的輔助線，利用截長補短法構造全等三角形，一般需要證明兩次全等，利用截長補短法作輔助線常有三種解題思路。

例題1：如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C．求證：AB+BD=AC．

利用截長法或補短法解決該問題。

01

思路一：截長法

“截長法”．如圖2，在AC上擷取AE=AB，連線DE，只要證BD=EC即可，這就將證明線段和差問題轉化為證明線段相等問題，只要證出△ABD≌△AED，得出∠B=∠AED及BD=DE，再證出∠EDC=∠C，進而得出ED=EC，則結論成立．此種證法的基礎是“已知AD平分∠BAC，將△ABD沿直線AD對摺，使點B落在AC邊上的點E處”成為可能．

截長法：在較長線段上擷取一段等於某一短線段，再證剩下的那一段等於另一短線段。

02

思路二：補短法

“補短法”．如圖3，延長AB至點F，使BF=BD．只要證AF=AC即可，此時先證∠F=∠C，再證出△AFD≌△ACD，則結論成立．

補短法：將短線段延長，證與長線段相等。

03

思路三：旋轉法

例題2：已知：△ABC是邊長為3的等邊三角形，以BC為底邊作一個頂角為120°等腰△BDC．點M、點N分別是AB邊與AC邊上的點，並且滿足∠MDN=60°．當點D在△ABC外部時，求證：BM+CN=MN。

分析：延長AB至F，使BF=CN，連線DF，只要證明△BDF≌△CND，△DMN≌△DMF即可解決問題，或者說將△DCN繞著點D逆時針旋轉120°得到△BDF。

旋轉法：將包含一條短邊的圖形旋轉，使兩短邊構成一條邊， 證與長邊相等。

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