微積分——函式

筆者為了一探微積分之究竟，曾花過無數時間，幾乎遍讀現在比較流行且享有較高聲譽的（歐）美版、俄版、日版、中版微積分教材。

坦率地說，初讀有如牛

囫圇吞草

，不是不想

“反芻”，而是嚼之無味，頂多只能算是大概瞭解；但二讀就基本能讀懂，偶爾會略有所思；如今三讀，感覺時有融會貫通時刻，似乎能夠領悟得到其中的一些深意，很自然也頗有些自己的學習心得。

倘若你問我到目前為止學微積分有何心得？首先，我認為學微積分不能有任何依靠別人的思想，最終必須靠自己；其次，我認為微積分的精髓不在於那些

“高大上”的公式定理與計算裡，而在於一些重要概念與定義裡。

那麼，在整個微積分裡，哪個概念是最重要呢？當然是函式，因為微積分的研究物件就是函式。我認為，假如忽視函式這個重要概念而學微積分，幾乎可以肯定你學不好。

再說定義。什麼是定義？如果我們變通地理解詞典對定義的解釋，之於數學這門學科來說，所謂定義，亦即是對某一

概念內涵的

具體

說明。

所以概念需要依仗定義來作具體說明，兩者實則密不可分，同樣的重要。我認為，假如忽視微積分裡的諸多概念定義，也幾乎可以肯定你學不好。

舉例來說，被稱為微積分

“核心”的導數概念與定義（略）就非常之重要，我們甚至無需使用任何求導公式與法則，僅利用定義就可以完成求導，只是有時比較麻煩一些罷了。

那麼，導數是什麼？其實導數也是個函式，正確的叫法應該是對某變數求導得到的函式，簡稱導數。所以講來講去又回到函式這個重要概念上來。

那麼，函式又是什麼？事實上諸多教科書對函式的定義雖說原理一致，但表達的方式卻有很大的不同，有些說成是兩個變數之間的對應關係，有些說成是

對映

規則，還有些說成是輸入與輸出的關係，等等。可見各有各表，無非就是人為的產物。

但不管怎麼說，函式的通式一般都寫成

y=f（x）

，明顯由

y

、

f

、

x

三個元素構成；由於

y

由

f（x）

決定，所以起主要作用的實為

f

、

x

兩個元素；當一個函式式寫成，就意味著規則已經制定完成，所以對於一個特定的函式式而言，最終

只由

x

一個元素決定，並且會拒絕非定義域裡的一切。

人們在研究具體函式時，往往會指定定義域來進行研究。但在許許多多的自然現象函式關係中，往往沒有明確的定義域，通常就以

D

來規定函式的定義域，以包括儘可能多的實數集部分；即便如此，仍然暗藏著對定義域的諸多限制，比如分數的分母就不能為

0

、不能取負數的平方根、不能取負數和

0

的對數等等，以使函式具有研究的價值與意義——許多函式並沒有實在的意義。

以筆者我自己的看法，學微積分的意義絕不在於做題上，事實上對於絕大多數普通考試，無需太過深入微積分，只需記住求導、微分、積分公式和掌握若干運演算法則，拿個及格並不算難。但若問題目函式的意義為何？大概就不知所謂。

那麼，函式的意義又是什麼呢？在牛頓的原始微積分思想裡，他說

“我把時間看作是連續的流動和增長，其它量則隨著時間而連續增長。”由於時間總是向前的，所以萬事萬物就都是運動變化的，萬事萬物的運動變化都可以表達為相對於時間的函式關係。

明顯地，牛頓思想裡的函式是用來表達萬事萬物的運動變化的，反映的是自然規律，這才是建立函式關係的意義所在。比如，正方形的面積與邊長的關係可以寫成s=x

是個顯函式、單位圓的方程為x

+y

=1是個隱函式等等，這些都是經得起考驗的自然規律或規則；再比如，牛頓第二運動定律裡的F=ma，表達的是作用力與物體質量和加速度的關係，還揭示作用力與加速度方向相同的關係，同樣反映的是自然規律。（大家不妨仔細推敲，F=ma中的a利用了二階導。）

所以函式作為微積分的研究物件，至少包括反映自然規律和函式本身必須要有意義這兩重意義。我認為，如果忽視函式的意義去學微積分，其本身就是一件毫無意義的事情。我還認為，學微積分必須讀微積分的發展史，或許從至少跨越兩千年的醞釀過程裡可以深刻領悟到學微積分的意義與價值。

編撰：然好

END