巧用插板法 解決排列組合問題

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在公務員考試中，數量關係模組一直是考生複習的重難點所在，從歷年考試來看，排列組合問題是這一模組的難度較大的題型之一。而從題量來看，排列組合問題也是出現數量較多、出現頻率較高的，可見這一類題型在公務員考試中的重要程度。而分配插板法是排列組合問題中較為重要的一種方法，這種方法用於解決元素分組問題。靈活運用插板法能處理一些較複雜的排列組合問題，但使用時有2點要求：①元素相同；②每組中至少分一個元素。

一、直接使用插板型

例1、把9個蘋果分給5個人，每人至少一個蘋果，那麼不同的分法一共有多少種？（）（2010年河南政法幹警考試A卷第41題）

A。30B。40C。50D。70

答案：D。該問題用分類計數法較複雜，但可以將9個蘋果排成一行，9個蘋果中間就出現8個空擋，再用，4個擋板把9個蘋果分成有序的5份，每個人就依次按序分到對應的n個蘋果（可能是1個﹑2個﹑3個﹑4個、5個）。即在8個空擋中插入4個擋板，由4個擋板把球分成5份，共有C84種方法。

在這道題目中，直接符合了使用插板法的2點要求：（1）每個蘋果都相同；（2）每個人都至少拿到1個蘋果。

二、一組多元素型

例2、某單位訂閱了30份學習材料發放給3個部門，每個部門至少發放9份材料。問一共有多少種不同的發放方法？（）（2010年國家公務員考試行測第46題）

A。12B。10C。9D。7

答案：B。先拿出24份材料，每個部分發8份，這時變成“6份材料發給3個部門，每個部門至少發1份”，再利用插板法，在5個空中插上2個擋板：C52=10（種）發放辦法。

在這道題中，顯然不符合使用插板法的第二點要求：“每組中至少分得一個元素”。題目要求“每個部分至少發放9份材料”，因此可以把題目稍作變形，先給每個部分發8份材料，題目就變成了“每個部分至少發1份材料”，符合使用插板法的2個要求，可以使用插板法。

三、允許空組型

例3、6個相同的蘋果分給3個小朋友，請問一共有多少種分配方法？（）

A。16B。20C。24D。28

答案：D。先“借”給每個小朋友一個蘋果，現在一共有6+3=9個蘋果。我們現在將這9個蘋果分給3個小朋友，為了償還剛才“借”的蘋果，要求現在分配的時候“每個小朋友至少得到1個蘋果”，在8個空中插上2個擋板：C82=28（種）方法。

這道題中，題目要求“6個相同的蘋果分給3個小朋友”，允許有空組的存在，顯然不符合使用插板法的第二點要求：“每組中至少分得一個元素”，因此，先“借”給每個小朋友一個蘋果，之後要求每個小朋友至少分得1個蘋果，再把分得的蘋果中拿出一個償還，這就使題目變形符合使用插板法的2點要求，可以使用插板法。

從上面幾道題目中不難看出，元素分組問題使用插板法後能變得較為簡單。而使用插板法有2個要求：①元素相同；②每組中至少分一個元素。如果題目中的要求不符合其中一項，可將題目變形，使題意符合這2個要求，再使用插板法。