九年級數學｜二次函式的影象專題講解，5大考點+例題解析，收藏

二次函式的學習不僅是中考數學的熱點話題，也是初三上學期學習過程中的重難點。在之前的文章當中，唐老師已經對學習二次函式概念及簡單應用做了詳細的講解其概念的理解，決定了大家對二次函式的深刻認識，那麼這一講，唐老師繼續講解二次函式的重要考點，其影象的性質在具體的中考考點當中其考查的方式以及方法都用例題解析的形式給大家做了呈現。希望這些分析以及講解能夠幫助到大家。

一、學習目標

1、能利用描點法作出二次函式的影象，並根據圖象認識和理解二次函式的性質，建立二次函式表示式與圖象之間的聯絡；

2、經歷探索二次函式影象的過程，進一步培養數形結合的數學思想與學習方法；

3、透過探討作圖激發學生學習數學的興趣，透過合作學習，培養學生團結協作的思想品質．

二、知識點總結與梳理

1．二次函式的圖象

（1）二次函式y=ax2（a≠0）的影象的畫法：

①_______：先取原點（0，0），然後以原點為中心對稱地選取x值，求出函式值，列表．

②_______：在平面直角座標系中描出表中的各點．

③_______：用平滑的曲線按順序連線各點．

④在畫拋物線時，取得點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂點的兩側各取三四個點即可．連線成圖象時，要按自變數從小到大（或從大到小）的順序用平滑的曲線連線起來．畫拋物線y=ax2（a≠0）的圖象時，還可以根據它的對稱性，先用描點法描出拋物線的一側，再利用對稱性畫另一側．

（2）二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）的影象

二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）的影象看作由二次函式y=ax2的圖象向右或向左平移|b/2a|個單位，再向上或向下平移|4ac-b2/4a|個單位得到的．

2．二次函式影象與係數的關係

二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）

①二次項係數a決定拋物線的______和_______．

當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大，開口就越___．

②一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置．

當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）

③．常數項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交於（0，c）．

④拋物線與x軸交點個數．

△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．

3．二次函式影象與幾何變換

由於拋物線平移後的形狀____，故a不變，所以求平移後的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移後的座標，利用待定係數法求出解析式；

二是隻考慮平移後的頂點座標，即可求出解析式．

三、考點解析與經典例題解析

1。 動點的二次函式圖象．

【例1】如圖，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=45°，底邊AB=5，高AD=3，點E由B沿折線BCD向點D移動，EM⊥AB於M，EN⊥AD於N，設BM=x，矩形AMEN的面積為y，那麼y與x之間的函式關係的圖象大致是（）

【解析】利用面積列出二次函式和一次函式解析式，利用面積的變化選擇答案．

解：根據已知可得：點E在未到達C之前，y=x（5﹣x）=5x﹣x2；且x≤3，當x從0變化到2。5時，y逐漸變大，當x=2。5時，y有最大值，當x從2。5變化到3時，y逐漸變小，到達C之後，y=3（5﹣x）=15﹣3x，x＞3，根據二次函式和一次函式的性質．

當x≤4cm時，重合部分是邊長是x的等腰直角三角形，面積y=1/2x2，是一個開口向上的二次函式；當x＞4時，重合部分是直角梯形，面積y=8﹣1/2（x﹣4）2，即y=﹣1/2x2+4x，是一個開口向下的二次函式．

2。二次函式圖象的象限分佈．

【例2】已知y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則y=ax+b的圖象一定過（）

A．第一，二，三象限 B．第一，二，四象限

C．第二，三，四象限 D．第一，三，四象限

【解析】本題主要考查一次函式和二次函式的圖象所經過的象限的問題，關鍵是m的正負的確定，對於二次函式y=ax2+bx+c，當a＞0時，開口向上；當a＜0時，開口向下．對稱軸為x=-b/2a，與y軸的交點座標為（0，c）．3。 二次函式的圖象．

【例3】在同一座標系中，作出函式y=kx2和y=kx﹣2（k≠0）的圖象，只可能是（）

當k＞0時，函式y=kx2開口向上，而y=kx﹣2的圖象過一、三、四象限，

當k＜0時，函式y=kx2開口向下，而y=kx﹣2的

圖象

過二、三、四象限，

4．二次函式圖象與係數的關係．

【例4】已知二次函式y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）

A．a＞0 B．c＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．a+b+c＞0

【解析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關係，由拋物線與y軸的交點得出c的值，然後根據拋物線與x軸交點的個數及x=1時二次函式的值的情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．

【解析】由拋物線的開口向下至a＜0，與y軸的交點在y軸的正半軸上得到c＞0，由對稱軸為x=﹣1可以判定②錯誤；由圖象與x軸有交點，對稱軸為x=﹣1，與y軸的交點在y軸的正半軸上，可以推出b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正確；由x=﹣1時y有最大值，由圖象可知y≠0，③錯誤．然後即可作出選擇．

5．二次函式自變數的取值範圍；

【例5】函式y=ax2﹣2x+1和y=ax+a（a是常數，且a≠0）在同一直角座標系中的圖象可能是（）

寫在最後：二次函式的考點以及影象的使用方法在具體的考試當中能起到事半功倍的作用，其中數形結合的普遍使用，也對於提升自己的數學思維以及幾何知識的拓展起到了非常關鍵的作用，所以二次函式影象的考點是大家在學習的過程當中，必須掌握的一項特殊技能，在對於其他幾何學習也起到了一定的啟發作用。