「每週一識」你知道多少雙扭曲線的影象性質？

下凸函式是凹函式嗎

本文主要內容：小結分析雙扭曲線（無窮大型）（x^2+y^2）^2=a（x^2-y^2） （a>0）影象的性質。

※.將曲線模型化為極座標形式：

x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入方程得：

［（ρcosθ）^2+（ρsinθ）^2］^2=a［（ρcosθ）^2-（ρsinθ）^2］

ρ^4=aρ^2［（cosθ）^2-（sinθ）^2］

ρ^2=acos（2θ）。

※.引數θ的取值範圍

∵ρ^2≥0，a>0，

∴cos（2θ）≥0，

即：2kπ-π/2≤2θ≤2kπ+π/2；

kπ-π/4≤θ≤kπ+π/4。

當k＝0，1時，θ在［0，2π］上的取值範圍為：

［-π/4，π/4］，［3π/4，5π/4］，即影象在這兩個區間之間。

或者從直角座標系方程來看：

x^2-y^2≥0

即：y^2≤x^2，得：

y≤x或者y≥-x，表示函式的影象在y=x的下方，同時在y=-x的上方。

※.函式一階導數y＇的引數θ表示

∵x=√a*√cos（2θ）*cosθ，y=√a*√cos（2θ）*sinθ；

∴y＇=（y＇t）/（x＇t）

=√a［-sin（2θ）*sinθ/√cos（2θ）+√cos（2θ）cosθ］/

{√a［-sin（2θ）*cosθ/√cos（2θ）-√cos（2θ）sinθ］}

=［sin（2θ）*sinθ-cos（2θ）cosθ］/{［sin（2θ）*cosθ+cos（2θ）sinθ］}

=-cos（3θ）/sin（3θ）。

※.函式單調性討論

1。當θ∈［-π/4，π/4］時：

（1）若θ∈［-π/4，-π/6］時，3θ∈［-3π/4，-π/2］，此時有：cos（3θ）<0，sin（3θ）<0，則y＇<0，函式在區間上為單調減函式；

（2）若θ∈（-π/6，0）時，3θ∈（-π/2，0），此時有：cos（3θ）>0，sin（3θ）<0，則y＇>0，函式在區間上為單調增函式；

（3）若θ∈［0，π/6］時，3θ∈［0，π/2］，此時有：cos（3θ）>0，sin（3θ）>0，則y＇<0，函式在區間上為單調減函式；

（4）若θ∈（π/6，π/4］時，3θ∈（π/2，3π/4］，此時有：cos（3θ）<0，sin（3θ）>0，則y＇>0，函式在區間上為單調增函式。

2。當θ∈［3π/4，5π/4］時：

（1）若θ∈［3π/4，5π/6］時，3θ∈［9π/4，5π/2］，此時有：cos（3θ）>0，sin（3θ）>0，則y＇<0，函式在區間上為單調減函式；

（2）若θ∈（5π/6，π）時，3θ∈（5π/2，3π），此時有：cos（3θ）<0，sin（3θ）>0，則y＇>0，函式在區間上為單調增函式；

（3）若θ∈［π，7π/6］時，3θ∈［3π，7π/2］，此時有：cos（3θ）<0，sin（3θ）<0，則y＇<0，函式在區間上為單調減函式；

（4）若θ∈（7π/6，5π/4］時，3θ∈（7π/2，15π/4］，此時有：cos（3θ）>0，sin（3θ）<0，則y＇>0，函式在區間上為單調增函式。

※.函式二階導數y"的引數θ表示

∵y＇=-cos（3θ）/sin（3θ）=-ctg（3θ）

∴y“=（y＇）＇t/（x＇t）

=［csc（3θ）］^2/{√a［-sin（2θ）*cosθ/√cos（2θ）-√cos（2θ）sinθ］}

=［csc（3θ）］^2*√cos（2θ）/{√a［-sin（2θ）*cosθ-cos（2θ）sinθ］}

=-［csc（3θ）］^2*√cos（2θ）/［√a*sin（3θ）］

※.函式凸凹性討論

∵［csc（3θ）］^2>0，√cos（2θ）>0，√a>0，

∴函式y”與符號取決於sin（3θ）的符號，當sin（3θ）>0時，y“≤0，反之亦然，即y”與sin（3θ）的符號相反，即異號。

1。當θ∈［-π/4，π/4］時：

（1）若θ∈［-π/4，0］時，3θ∈［-3π/4，0］，此時有：sin（3θ）<0，則y“>0，函式在區間上為凹函式；

（2）若θ∈（0，π/4］時，3θ∈（0，3π/4］，此時有：sin（3θ）>0，則y”<0，函式在區間上為凸函式。

2。當θ∈［3π/4，5π/4］時：

（1）若θ∈［3π/4，π］時，3θ∈［9π/4，3π］，此時有：sin（3θ）>0，則y“<0，函式在區間上為凸函式；

（2）若θ∈（π，5π/4］時，3θ∈（3π，5π/2），此時有：sin（3θ）<0，則y”>0，函式在區間上為凹函式。