解析幾何學的誕生

解析幾何產生的背景

進入17世紀之後，各種的數學理論和分支如雨後春筍般茁壯成長，數學家也像韭菜一樣，一茬接著一茬。近代數學的發展，使得數學家族“人丁”興旺；目前很難有誰能系統、全面的掌握所有數學內容；學術前沿的大牛，也大都是在一個和幾個領域方向上“嘚瑟”，對其他方向的瞭解都可能達到隔行如隔山的程度；大家都在自己的一畝三分地上耕耘，有誰能站到高處俯視一下下呢？

數學學科體系

而17世界的幾何學主要有兩個方向：一個是德扎爾格的射影幾何學路線；另一個是笛卡爾建立起的解析幾何。

在解析幾何建立之前，歐洲人在代數上已經有所突破，包括韋達定理，三次和四次代數方程的解析解，使得代數學進入了歐洲數學家的視野。有人認為：近代數學本質上就是關於變數的數學，這區別於古代關於常量的數學。而文藝復興以來資本主義生產力的發展，對科學技術提出了更高的要求。生產實踐中產生大量的“變數”問題：機械運動；航海導航；火藥的使用、武器改進推動了彈道的研究等等。因此，對運動和變化的研究成為學術研究的中心課題。而變數數學的首個里程碑式的成果就是解析幾何了。

解析幾何的誕生

解析幾何的基本思想是在平面中引入座標，建立座標系，然後將一個形如f（x，y）=0的代數方程與平面上的一條曲線對應起來：將幾何問題轉化為代數問題，也透過對代數問題的研究發現新的幾何結果；代數問題也有了幾何意義的解釋。這一幾何學的分支的創立人是兩個法國數學家——笛卡爾和費爾馬。只是，他們最初使用的都是斜座標系，把直角座標系作為特殊情況。現在我們使用更多的是直角座標系，並稱之為笛卡爾座標系。

笛卡爾

費爾馬和笛卡爾都是各自獨立的發明瞭解析幾何，他們發明的方式和目的不盡相同。這位業餘的數學家費爾馬用代數的方法對古希臘阿波羅尼奧斯的《平面軌跡》進行了補充、總結整理。費爾馬更強調軌跡的方程和用方程表示曲線的思想，他給出了直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線等方程的現代形式。1637年，笛卡爾以其《方法論》附錄的形式發表了《幾何學》，其中闡述瞭解析幾何的全部思想。而費爾馬早在1629年發現了座標幾何的基本原理，卻一直都沒有發表，因此有了優先權的爭論。

費爾馬

笛卡爾和費爾馬建立的座標系並不是唯一的座標系。1671年費爾馬的座標幾何原理髮表兩年後，牛頓建立了極座標。有些圖形用極座標表現會更簡單，如阿基米德螺線、懸鏈線、心臟線、三葉或四葉玫瑰線等。