頂尖設計術，圓弧生萬物（續集）：創意圓圈設計

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

前文回顧：

頂尖設計術，圓弧生萬物——把logo設計師當場氣死的數學藝術

用圓弧近似對數螺線的藝術

自古以來，用圓進行創作的過程一直吸引著幾何學家和工匠們。本文簡要介紹從古到今各種涉及圓的設計及其應用，從幾何證明到裝飾品。

早期的圓圈應用

曲線元素具有特殊的審美吸引力，並被不同文化背景的藝術家以各種方式加以利用。甚至可以說，第一個非線性設計元素是在某個無名的洞穴人用棍子在沙子或泥巴上畫出360°旋轉時創造的。總之，這是一系列實用和裝飾應用的開始。

例如，範·布魯梅倫（Van Brummelen）的書《天地數學》（The Mathematics of the Heavens and the Earth）［1］中評論道：“許多古代和中世紀的三角學都使用圓和圓弧作為參考圖形，而不是使用三角形。”值得注意的是，圓在幾何證明中可能會不期而遇地出現。例如，任何數的平方根都可以用外接圓內的重疊圓來求。圖1給出了求3的平方根的一個例子。

圖1：求平方根

因為半圓內接的角是直角，所以圖1中的三角形都是相似的。設a = 1，b = 3。然後，根據相似三角形的幾何性質：

也就是說，垂線x的長度等於3的平方根。透過使用適當數量的圓圈並將第一個半徑設定為1，可以用任意數字代替b。

扭索飾和所羅門結

一種在不同文化中廣泛使用的經典圓形設計是扭索，如圖2所示。它被韋伯斯特定義為“由鬆散交織的帶子組成的裝飾性設計，開口處填充有圓形裝飾物”，它有許多不同的形式。圖2和圖3展示了公元前7世紀亞述設計的一個現代例子。

圖2：現代扭索設計

圖3：公元前7世紀亞述飾帶

圓形扭索被稱為所羅門結，幾個世紀以來也被廣泛使用。如圖4所示，它可以用任意數量的圓和彩條來構造。

圖4：所羅門結的兩個版本

廣義n圓扭索可以用以下方式構造［4］。

1。在外圓內畫n個圓，使所有圓彼此相切。參見圖5。把圓等分成n個相等的部分，就可以做到這一點。參見圖6。平分角θ。在等分線與外圓交點處作一條切線。畫出切線的半徑，找到中點，畫一個圓。重複n - 1次。

2。根據需要畫出更大和更小的圓，形成一個帶狀圖7。

3。擦去適當的線條，形成所需的帶狀交織。

圖5~7

達芬奇的月牙形

列奧納多·達芬奇（1452-1519）晚年才對幾何學產生興趣，但之後一直系統地從事幾何學研究，直到去世。他對月牙形的應用特別感興趣，留下了兩頁漂亮的手稿，上面寫滿了170多個半圓形的圖案，這就是他的“月牙形”。月牙的某些部分被填充了，看起來他在展示每一個設計中的面積守恆。在每一幅圖中，填充的部分總是具有相同的總面積。

許多圖都基於圖8中的框架。兩個灰色部分的面積相等，這可以用下面的邏輯來證明。圖9，假設外圓的半徑等於1，則整個圓的面積就是π。圖10，半徑為1/2的內圓的面積是π/4。圖11，內圓的上半部分的面積為π/8，圖12中的灰色部分也是如此，因為灰色部分的角度為45°。圖8展示了這兩個相等區域的唯一區別。也就是說，這兩個灰色區域面積必定相等。

圖8~12

現在人們可以看到在一個側面有8個相等的區域，其中6個是 “杏仁形”，2個是 “鉤形”。每次可以任意填充4個區域。可能的組合數將從n個不同元素中取出4個元素的組合數，即70。作者生成了所有70個可能的雙對稱設計的表格，圖13只顯示了其中的4個。達芬奇在他的圖中包括了這4個，他也畫了其他圖案，但不是70種中的全部。然而，還有許多其他的等面積組合，他確實包括在內。其中一些已在［7］中討論過，而其他的則是正在進行的研究的主題。

圖13：70種可能組合中的4種，所有填充區域的面積都是相等的。

扇形的面積

圓形的一部分的面積可以從對著它的角θ的大小得到。精確值由下式給出：

在圖14中，角度90°形成淺灰色部分，半徑為1/2，面積等於1/8（pi/2-1）≈0。07135平方單位。這可以被稱為基本單元，因為它構成了所有先前設計的基礎。在圖15中，灰色部分的面積是0。1427平方單位，等於2倍的基本單元。達芬奇在他的圖中使用了這種關係，如圖16所示。同樣，填充區域的面積相等。

圖14~16

圓形設計的後期使用

圓的創造性使用跨越了許多個世紀，並蘊含在許多文化中。這裡只能做一個簡單的介紹，儘管還有許多其他的用途也值得包括在內。其中有兩個與幾何學和藝術都有特別緊密的聯絡，一個是公元8世紀複雜的凱爾特卷軸藝術，另一個是中世紀哥特式建築中美麗的窗飾。

19世紀和20世紀兩位最偉大的美國建築師也在他們的作品中使用了圓圈。路易斯·沙利文（1856-1924）以華麗的裝飾風格和他的建築專案而聞名。他最具標誌性的設計之一是1893-1894年為芝加哥證券交易所大樓設計的圓形電梯格柵。參見圖17。

圖17：路易斯·沙利文的“電梯格柵”（1894年）

弗蘭克·勞埃德·賴特（Frank Lloyd Wright，1867-1959）以其創新的草原風格建築而聞名，他強調現代水平線。然而，他經常利用幾何元素來裝飾他的設計細節。圖18展示了他1912年的一扇可愛的窗戶。它是為伊利諾伊州里弗賽德的艾弗裡·庫恩利劇場設計的，其特色是色彩鮮豔的圓圈，代表氣球。

圖18：弗蘭克·勞埃德·賴特的劇場窗戶（1912）

追溯一個特定的設計元素在不同時期和不同文化中的使用情況是非常有趣和有啟發性的。圓肯定是最基本的單位之一，但它在裝飾性和實用性方面的應用卻非常廣泛。一些文化似乎很少使用它，而另一些文化則廣泛地使用它。純粹的功利性應用包括從幾何學證明到建築裝飾。技術的進步也起到了一定的作用。隨著新技術的出現，富有冒險精神的設計師可以利用它們來擴大他們的創造範圍。最後，藝術家、建築師或數學家的聰明才智對圓的美麗利用貢獻最大。

參考文獻

［1］ Glen Van Brummelen， The Mathematics of the Heavens and the Earth， Princeton University Press， 2009

［2］ Robert Dixon， Mathographics， Dover Publications， 1991

［3］ Lewis F。 Day， Pattern Design， Dover Publications， 1999

［4］ Paul A。 Calter， Squaring the Circle， Key College Publishing， 2008

［5］ Fritjof Capra， The Science of Leonardo， Anchor Books， 2007

［6］ Carlo Pedretti， Leonardo Da Vinci， Taj Books， 2006

［7］ Susan McBurney， Decoding DaVinci， Joint Mathematics Meeting， New Orleans， LA， 2011

［8］Susan McBurney， Creative Circle Design

青山不改，綠水長流，在下告退。

轉發隨意，轉載請聯絡張大少本尊。