羅巴切夫斯基空間和羅氏直線

時空學大講堂

——反相對論演義

二，時空學初步

5，羅氏直線

實踐證明：在沙漠或海面溫度很高時，地球表面的空氣稀薄，高空的空氣密度更大。這時光線的傳播向從介質密度小引力場強度大的地面向著介質密度小引力強度大的高空方向延伸（與引力場光線的延伸方向相反），形成“負折射”，這時可能發生海市蜃樓現象。說明這時的空間性質。歐氏空間和引力場空間都不同，這是一種獨立的空間。稱作“介質空間”。與引力場空間的理由相同，介質空間中“直線是光的軌跡”的定義同樣成立。

介質空間：若空間中任意三條相交直線確定的三角形內角和小於180°，大於0°，該空間稱作“介質空間”。

需要說明，三角形的邊長應該在一公里以上，與歐氏三角形的差異才能表現出來。並且三角形面積越大內角和越小。

介質空間是根據羅巴切夫斯基幾何第五公設定義的。該公設揭示了直線的第三種外延形式。其它天體上如行星表面，主序星、紅巨星表面的日冕、日珥層也可以看作介質空間。介質空間也稱作“羅巴切夫斯基空間”或“羅氏空間”；介質空間的直線稱作“羅氏直線”；兩條羅氏直線確定的平面稱作“羅氏平面”。

在介質空間中雖然也存在引力場，但是這時主導光線延伸方向的卻是空間中的介質密度及其梯度。這說明光線的延伸方向是空間中的引力強度梯度和介質密度梯度等物理性質綜合確定。並非由引力場強度的梯度唯一確定。

介質空間中心天體O表面任意兩條（羅氏）直線相交可以確定一個平面。在平面中確定一條直線AB，在同一平面各發射一條光線AD、BC與直線AB垂直。如圖 兩條光線都將向介質密度大即引力小的方向延伸。因此，無論從A、B端或C、D端延長AD和BC，它們都不會相交。如果固定直線AD和B點，在 AD和B點確定的平面內，過B點不斷改變直線BC的方向，只要改變的角度不大，都不會與AD相交。按照平行線定義，這些直線都是AD的平行線。它說明，在介質空間任意平面內，過直線外一點可以作無限多條直線與已知直線平行（羅巴切夫斯基認為至少可以作兩條平行線的觀點不妥）。這個結論就是羅巴切夫斯基幾何第五公設。在圖中，將直線AD、BC的C、D端靠攏，交於C，得到三角形ABC 。根據羅氏直線的特徵，三角形三邊都內凹，三角形內角和小於180°、大於0°。這就是羅巴切夫斯基幾何第五公設的另一種表述形式。

因此介質空間是羅巴切夫斯基幾何對應的自然空間。羅氏幾何的第五公設不能證明也不能證偽。因此，觀察者處於什麼性質的空間，只能根據第五公設的檢測結果判定。

特別強調，無論理論或實踐都不能認為兩種非歐幾何中第五公設界定是曲線。一是，曲線的種類太多，數量達三階無窮大。將這兩種線定為曲線沒有代表性；二是，第五公設討論的是三角形的邊或平行線，二者的內涵都是直線。三是，無論哪一種曲邊三角形，只要給出曲邊方程，理論上都可以證明三角形內角和大於或小於180°，甚至計算出內角和的具體值。而三種第五公設都不能證明或證偽。只能在實踐中測量。

直線的三種外延形式都是幾何學的、理論上的、主觀的。在物理學和實踐中，在客觀上直線只有“空間中光的軌跡”這一內涵而沒有外延。無論理論或實踐，都沒有理由認為哪一種直線更直。

人類的母親空間——地球表面，有時是歐氏空間、有時是介質空間，有時是引力場空間。