中值定理有什麼用？微分學理論和應用都需要它，且看它的前世今生

均值定理是怎麼推出來的

中值定理

是反映函式與導數之間聯絡的重要定理，也是微積分學的理論基礎，在許多方面它都有重要的作用，在進行一些公式推導與定理證明中都有很多應用。

關於中值定理

在高等數學中，函式和其導函式是兩個完全不同的概念，雖然兩者都可以是函式，但是導數只是反映函式在某一特殊點所對應函式的值變化的區域性特徵，如果想了解函式在整個定義域上的整體性態，如單調性、極值、凹凸性和拐點等，就需要在導數和函式之間

建立一座橋樑

，微分中值定理就能夠起到這樣的作用。

嗨嗨嗨！說到橋樑，北京真的有這麼一座橋文化橋，這座橋位於珠市口大街的最西邊，與“音樂橋”遙遙相望。橋身上鑲嵌著“萬有引力定律”、愛因斯坦“質能公式”以及“拉格朗日中值定理”。這座橋儼然已成為這鋼筋水泥都市中一道別具一格的風景。

北京珠市口大街上的數學文化橋

好了！來張主角的特寫照！

橋上的拉格朗日中值定理

中值定理通常包括：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，

他們不但是研究函式形態的基礎，同時也是洛必達法則及泰勒公式的理論基礎。

中值定理的前世今生

人們對微分中值定理的認識可以上溯到公元前古希臘時代，古希臘數學家在幾何研究中，得到如下結論：“過拋物線弓形的頂點的切線必平行於拋物線弓形的底”，

這正是拉格朗日定理的特殊情況

。希臘著名數學家阿基米德（Archimedes） 正是巧妙地利用這一結論，求出拋物弓形的面積。

阿基米德

圖片來自：超級數學建模

義大利卡瓦列裡（Cavalieri） 在《不可分量幾何學》（1635年） 的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理，其中引理3基於幾何的觀點也敘述了同樣一個事實：曲線段上必有一點的切線平行於曲線的弦。

這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列裡定理。

圖片來自：超級數學建模（m為切線斜率）

導致微分學產生的第三類問題是“求最大值和最小值”，這類問題有著深刻的應用背景，如炮彈的射程問題、行星近日點和遠日點的計算。人們對微分中值定理的研究，從微積分建立之始就開始了。著名法國數學家費馬（Fermat） 在研究曲線切線的過程中，找到了在一條多項式曲線上任意求切線的方法，並建立了求多項式曲線的極大值與極小值的方法。1637年，他在《求最大值和最小值的方法》中給出費馬定理，在教科書中人們也稱它為

費馬引理

。

費馬引理的幾何解釋：

在曲線的峰點或谷點處，如果曲線有切線，則切線與x軸平行。

從敘述來看，費馬引理與我們課本上的羅爾定理已經非常接近，但羅爾定理是在費馬引理的50多年後才提出來的。

有關三個中值定理的具體應用可參看專欄《20小時玩轉微積分》的第7節

“微分學理論和應用的基礎——微分中值定理”

以上內容均來自於@數學漫談 的專欄《20小時玩轉微積分》中，本專欄致力於微積分知識的推廣，從數學思想入手，帶你領略數學文化，感受數學魅力！如需全文閱讀，可以點選右下角的專欄課程瞭解更多內容。