正弦曲線的視覺化直觀解釋 第二部分

翻譯小組成員介紹： Alex

Alex，英語愛好者，現工作於洛陽

文章： betterexplained。com/articles/intuitive-understanding-of-sine-waves/

譯者： Alex 校對： 向海飛 版面： 公理

無形之 π- Pi Without Pictures

書接上文（點選正弦曲線的視覺化直觀解釋 第一部檢視第一部）， 讓我們繼續探索正弦曲線/正弦波。。。

假設Alien本人視力極差，僅能模糊地分辨明暗陰影。怎樣向他描述 π 呢？因此就很難讓Alien明白圓周的概念，對吧？

退一步，以旁觀者的角度來觀察。正弦是一個迴圈圖案，意味著它要不斷地重複！從0增加到1，然後開始減小到0，繼續減小到-1，然後又回到0，週而復始。

定義π為正弦從0增加到1並回到0所需要的時間。這樣一來，就可以脫離圓來使用π了。其實π的概念只是湊巧被顯示在圓內罷了。

正弦是一種平緩的來回擺動

π是正弦從中間位置擺動到最大值然後回到中間位置所需要的時間

n*π（0*π，1*π，2*π，如此類推）是正弦運動處於中間位置的時刻

2*π，4π，6*π等等，是正弦運動完成整數倍迴圈的時刻

這就是π經常出現在公式裡的原因！π和0和1一樣並不屬於圓 - π用於描述正弦運動回到中心位置的時刻。而圓只是一個與π相關的圖形，它不斷重複，並每2*π個單位時間回到原位一次。其實，彈簧，琴絃震盪等正弦運動也是每π個單位時間回中心位置一次。

▌問題：如果π是半個迴圈，為何不是一個簡單的整數呢？

這得先從另外一個問題入手。為何一個邊長為1的正方形有一個長度為根號2（=1。414。。。一個無理數）的對角線？

當數學遇到難以解釋的自然現象時，就會帶來哲學上的困惑。雖然直覺不佳，但我仍然本能的意識到簡單的規則（邊長為1的正方形配上勾股定理）同樣可以解決複雜的問題。

正弦運動有多快？- How Fast Is Sine？

前面，我“設想正弦運動從0到最大值需要10秒”。現如今，我又說正弦運動從0到最大值然後返回0需要π秒。那麼正弦運動到底有多快呢？

sin（x）是正弦波的一種最為常見的表示式。它的確需要π個單位時間從0到最大值並返回0（或者需要2*π個單位時間完成一個迴圈）

sin（2x）的速度快一倍

sin（x/2）的速度慢一倍

以此類推，我們可用sin（n*x）來獲得指定速度的正弦波。但通常情況下，“正弦波”指一種圖形，而非速度。

第二部分：理解正弦波的定義 - Part 2： Understanding The Definitions Of Sine

這部分內容有些費腦 ——如覺必要可先放鬆一下。透過上述學習，希望已經對正弦有了基本概念。接下來學習正弦的常用定義，研究之間的相互關係，並建立起“正弦直覺”。

定義1：三角形的高和圓 - Definition 1： The Height Of A Triangle / Circle！

正弦首先是在三角形裡發現的。你也許還記得我在文首唸叨的“正弦，餘弦，正切”

正弦： 正弦是對邊除以斜邊

SOH： Sine is Opposite / Hypotenuse

餘弦：餘弦是鄰邊除以斜邊

CAH： Cosine is Adjacent / Hypotenuse

正切：正切是對邊除以鄰邊

TOA： Tangent is Opposite / Adjacent

直角三角形中，sin（x） 是角x的對邊除以斜邊。如果定義斜邊為1，可以簡化為：

正弦=對邊

餘弦=鄰邊

進一步，我們可以將斜邊為1的三角形畫在半徑為1的圓內。

單位圓內的正弦

如果使用等比縮放的方法，一個圓可以包含所有的直角三角形。例如：

sin（45） = 0。707

將一根100英尺長竹竿一端抬高與地面形成45度角。則竹竿的最高點離地面10 * sin（45） = 7。07英尺。

一個8英尺的竹竿將離地面8 * sin（45） = 5。65英尺。

這種方法對建築業意義非凡（不用實測金字塔就可得到相關尺寸）。遺憾的是，千年之後，我們卻開始相信正弦是三角形的高。我們對正弦誤解太深，它其實是一種顯示在圓（和三角形）中的形狀。

實際上，在許多問題上我們都會運用“圖形模式”思考，想著正弦等於三角形的高，以提高解題效率。這很好，但別局限於此。

定義2：無窮級數 - Definition 2： The Infinite Series

我們此前避開了一個重大問題：怎樣計算正弦值？計算器是透過畫圓並測量長度得到正弦值的嗎？

只是開個玩笑而已。下面來解開正弦的秘密：

正弦是與當前位置相反的加速度

以銀行賬戶為例：你有一個固執的老闆，他執意根據銀行賬戶來確定你的工資增幅，並且增幅與你賬戶餘額恰好相反。比如賬戶現有50美元，那麼你下週工資增幅就是-50美元。當然，假如你當前本週工資是75美元，因此下週你仍然有25美元的收入（75-50）。但是，當這種“負的增幅”最終超過你的收入時，你賬戶就開始透支了。

但是，也用不著擔心！一旦你的賬戶變成負的（比如為-50美元），老闆會給你每週50美元的增幅。下週你的收入可能仍然負的，但是“正增幅”最終增幅會超過它，你的賬戶就開始增長。

恆定的向心力使迴圈得以持續：上升時，向心力會偷偷把你拉回來。這也解釋了為什麼正弦波在中間位置速度最快：從最大值開始的回落過程不斷積累“負增長”。到達中間位置時，“負增長”達到最大。一旦越過中間位置，開始獲得正能量，並逐漸放緩。

題外話：既然正弦是與當前位置相反的加速度，而圓又是由水平和垂直正弦波組成。。。所以，圓周運動可以描述為：在“一個持續的與當前位置相反的朝向水平和垂直中心的向心力”牽引下的運動。（未完待續）