線性變換之維度轉化及其性質

在之前我們我們瞭解了線性變換的定義我們今天來了解一種維度變化的線性變換。

2維到1維變換

x=（x1，x2）是R^2空間中的任意向量，我們定義一個對映L：L（x）=x1+x2。由於L（x）滿足：

L（αx+βy）=（αx1+βy1）+（αx2+βy2）=α（αx1+x2）+β（αx1+x2）=αL（x）+βL（y）

因此L是一個將2維空間對映到1維空間的線性變換，顯然它可以寫為矩陣乘法的形式：

二維到一維變換

2維到3維變換

x=（x1，x2）是R^2空間中的任意向量，我們定義一個對映L：L（x）=（x1，x2，x1+x2）。由於L（x）滿足：

L（αx+βy）=（αx1+βy1，αx2+βy2，αx1+βy1+αx2+βy2）=（αx1，αx2，αx1+αx2）+（αy1，αy2，αy1+αy2）=αL（x）+βL（y）

因此L是一個將2為空間對映到3為空間的線性變換，顯然它可以寫為矩陣乘法的形式：

二維到三維變換

更一般地維度變換

透過對2維空間的降低維度或升高維度變化，我們發現這種維度變換，可以表示為一個矩陣乘原維度空間得到一個新的維度空間。對於更一般的維度變化我們可以定義一個對映L：L（x）=Ax。顯然這麼個定義滿足線性變換的定義：

L（αx+βy）=A（αx+βy）=Aαx+Aβy=αL（x）+βL（y）

透過上面的線性變換，我們成功地透過一個m，n的矩陣將一個n維向量空間中的向量對映到m維向量空間中去。

線性變換的性質

若L為一從向量空間V到向量空間W的線性變換，則

L（0v）=0w（0v，0w分別為V、W向量空間的0向量，這個性質描述了0向量經過線性變換過後依然還是新向量空間中的零向量。

若v1，。。。，vn為v的元素，且k1，。。。kn為標量，則L（k1v1+k2v2+。。。+knvn）=k1L（v1）+k2L（v2）+。。。+knL（vn）。這個性質描述了對於線性變換對映來講，對自變數的線性運算與對對映域的線性運算是等價的

對所有的v∈V，有L（-v）=-L（v）。這個性質描述了原向量的相反向量線性變換後與原向量線性變化後依然呈相反向量。

透過以上幾點性質的描述，我們看到一個向量空間線性變化到另一個向量空間中去，其線性性質儲存了一致性。