數學的偉大轉折——笛卡爾創立解析幾何

17世紀歐洲科學技術的發展向人們提出了許許多多用常量數學難以解決的問題，天體運動和物理運動也提出了用運動的觀點來研究圓錐曲線和其他曲線的問題，為此人們尋求解決變數問題的新方法，從而使笛卡爾創立了解析幾何學。解析幾何的誕生是數學的偉大轉折，正如恩格斯所說：“數學中的轉折點是笛卡爾的變數。有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，微分和積分立刻成為必要的了，而它們也就立刻產生。”

笛卡爾創立了解析幾何學（網路圖）

早期的座標概念

在沒有把座標的概念引進數學之前，人們對座標思想的認識和運用早就有過。我國最早用“井”字表示井周圍的土地就是取自座標的形態。公元120年前後笛卡爾創立了解析幾何學

古希臘的托勒密曾討論過球面上的經緯度，我國13、14世紀解多元高次方程組使用的“四元術”，這些都是座標概念的早期示例。以後出現的棋盤、算盤、街道門牌號等，實際上也是一種座標系統。

托勒密畫像

16世紀末，法國數學家韋達在代數中首先系統地使用字母，他所研究的代數問題，大多數是為解決幾何問題而提出來的。之後韋達的學生格塔拉底對幾何問題的代數解法作了系統地研究，於1607年和1630年分別發表了《阿波羅尼斯著作的現代闡釋》、《數學的分析與綜合》的著作。1631年，英國數學家哈里奧特把韋達和格塔拉底的思想加以引伸和系統化。這些都為幾何學和代數學的結合，形和數的結合，鋪平了道路。

費爾馬的座標法

1629年法國數學家費爾馬在對前人幾何研究的反思中，產生了一個想法，認為古人對於軌跡的研究感到困難，其原因只有一個，就是由於他們對軌跡沒有給予充分而又一般的表示。他認為，要將軌跡作一般的表示，只能藉助於代數。他了解到韋達用代數解決幾何問題的作法後，決定把阿波羅尼斯關於圓錐曲線的結果，直接翻譯成代數的形式。

費爾馬所用的一般方法，實質上就是座標法。他考慮任意曲線和它上面的任意點K，K的位置用A、E兩個字母來確定。其中A是從點O沿底線到點Z的距離，E是從Z到K的距離。這實際上是我們現代的斜座標。但y軸沒有明顯標出，而且不用負數。他的A、E就相當於我們現在的座標x、y。

費爾馬畫像

費爾馬透過建立座標，把平面上的點和一對未知數聯絡起來。然後在點動成線的思想下，把曲線用一個方程表示出來。他想，未知數A和E實際上是變數，因而聯絡A和E的方程是不確定的。他便用不同字母代表不同類的數，然後寫出聯絡A和E的各種方程，並指明它們所描繪的各種曲線。費爾馬肯定，方程如果是一次的，就代表直線，如果是二次的，就代表圓錐曲線，並給出了直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程。

費爾馬透過座標法把幾何曲線和代數方程聯絡起來，從而把幾何學和代數學聯絡起來，這已經接近於解析幾何的核心思想。他衝破幾何學研究的古典形式的束縛，使幾何學向前邁出了一大步。

笛卡爾解析幾何的誕生

幾乎是費爾馬研究解析幾何的同時，法國數學家笛卡爾也在獨立地研究著。

1596年3月21日，笛卡爾出生在法國圖倫一個貴族之家。他從小喪母，父親是地方議會議員，保姆撫養他成人。笛卡爾8歲進入當時歐洲最負盛名的拉夫累舍公學讀書，1612年入波埃頓大學攻讀法律，四年後以最優秀的成績獲得法學博士學位。畢業後他來到巴黎當律師，其間，溜到郊區一個僻靜的住所埋頭研究了兩年數學。

1617年他參加了奧倫治公爵的軍隊，部隊駐守在荷蘭小城佈雷達。1618年11月的一天，笛卡爾看到貼在街頭海報上徵解的一道數學難題，兩天後他送去了正確答案，成功地解決了這一難題。這一偶然的機會使他決心終生研究數學。

笛卡爾認真地分析了幾何學與代數學的優缺點。他認為古希臘人給後人帶來的幾何方法過於抽象和特殊；歐幾里得幾何中的每一個證明，都需要一個特殊的新方法，這既“笨拙和不必要”，而且使幾何學“失去科學的形象”；又認為當時通行的代數“完全受法則和公式的控制，成為一種混雜和晦暗，阻礙思想”。他準備尋找另一種能概括這兩門學科優點的新方法。

1619年，部隊駐紮在多瑙河畔的諾伊堡小鎮上，笛卡爾整天沉迷在畫圖、計算和思考之中，探索幾何與代數的本質聯絡，各種思路和演算常常使他夜裡遲遲不能入睡。11月10日晚，他的思考達到了異常興奮的地步，連作夢都夢到怎樣把代數應用到幾何中去的方法。他後來說：“第二天，我開始懂得這驚人發現的基本原理。我終於發現了一種不可思議的科學的基礎。”這就是解析幾何思想的萌生。

笛卡爾在給定的軸上標出x，在與該軸成固定角的線上標出y，並且作出其x、y的值滿足給定關係的點，這實際上是引進了“座標”的概念。透過座標實現了平面的“算術化”，即平面上的一個點，只要用一個數對（x，y）來表示就行了，反之亦然。再利用座標方法，把平面上的曲線與一個含有兩個未知數的方程聯絡起來。這樣一來，就能把幾何問題歸結為代數問題，並運用代數方法來研究幾何物件。1619年11月10日應算作解析幾何最初的誕生日。

笛卡爾和費爾馬的解析幾何在座標觀點以及用方程表示曲線的方法方面基本上是相同的。但是在對待傳統數學的態度上，兩者是不同的。笛卡爾打破了希臘數學的傳統，用代數方法代替傳統的幾何方法，這是數學史上的一次重大變革，而費爾馬卻著眼於繼承希臘人的思想，認為他自己的工作只是重新表述了阿波羅尼斯的工作。

解析幾何學的完善

當時，多數數學家受舊的觀念的束縛，反對把代數和幾何混在一起，因而解析幾何的思想並沒有很快被數學家們接受。笛卡爾的《幾何學》於1637年出版後，也沒有引起普遍重視。費爾馬的著作遲至1679年才出版。

笛卡爾去世5年後的1655年，英國數學家沃利斯首先引進了負的縱、橫座標，使得所考慮的曲線的範圍擴充套件到了整個平面。沃利斯進一步完善了座標法，其著作《論圓錐曲線》引起了數學家的普遍重視，大大傳播瞭解析幾何思想。

費爾馬和笛卡爾提出的座標系都是不完整的，費爾馬沒有明確y軸，而笛卡爾只是用了一根x軸，y軸是沿著與x軸成斜角的方向畫出的。

1691年，雅可布·伯努利發明了另一種座標。他用一個固定點以及由該點發出的射線為基準，用平面上一點到固定點的連線的長度和這連線與基準的夾角的餘弦為點的座標，這實質上就是現在的極座標。

在笛卡爾x、y軸的基礎上，1694年萊布尼茲提出並正式使用縱座標，而橫座標到18世紀才由沃爾夫等人引入。座標一詞也是萊布尼茲在1692年首創的。1715年，約翰·伯努利引進了現在通用的三個座標平面，把解析幾何從平面推廣到空間。

萊布尼茲畫像

1745年，尤拉給出了現代形式下的解析幾何的系統敘述，這是解析幾何發展史上的重要一步。之後，對解析幾何發展做出重要貢獻的是法國數學家拉格朗日，他在1788年提出了向量概念，引起了數學家與物理學家的極大注意，向量分析的出現立即對解析幾何產生深刻的影響，現在向量代數成了空間解析幾何的重要內容。

19世紀，經典解析幾何已經發展得相當完備。這時候，這門學科才正式定名為“解析幾何”，以後便流傳下來。

解析幾何的建立在數學史上佔有重要的地位，它使變數數學從此走上了歷史舞臺，它實現了數形關係的溝通。作為一種有效的數學工具，它不僅廣泛地被使用於物理學和其他工程技術領域，還常常滲透到各個數學分支，在整個數學中發揮作用，同時，它還可以啟發人們提出新的觀點。拉普拉斯說的好：“只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄，但是當這兩門科學結合成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力。從那以後，就以快速的步伐走向完善。”17世紀以來數學的巨大發展，很大程度上歸功於解析幾何。