距離世界盃開幕僅有四年，還不快進來學習點球的藝術

引言

在2022年卡達世界盃決賽中，阿根廷隊憑藉點球大戰4-2的戰績擊敗了法國隊，奪得本屆世界盃冠軍。雙方在常規時間戰成2-2，加時賽雙方再次戰平，以3-3進入點球大戰。首輪法國隊球員姆巴佩首先進球，梅西也順利罰進；第二、第三輪法國隊派出的科曼、楚阿梅尼均未能命中，阿根廷隊則均未失手；第四輪蒙鐵爾命中，最終阿根廷隊獲得冠軍。

在今年世界盃 1/4 決賽中也出現了點球大戰，克羅埃西亞隊與巴西隊在常規時間和加時賽中戰成 1-1。比賽拖入點球大戰。點球決勝首輪，克羅埃西亞隊弗拉西奇罰進，而巴西隊羅德里戈的點球被門將撲出（圖 1）。

圖 1： 巴西隊羅德里戈的中下偏右點球

第二、三輪雙方均命中點球。關鍵的第四輪中，克羅埃西亞隊奧爾西奇主罰命中。而巴西隊的主罰馬爾基尼奧斯將球打在立柱上彈出球門（圖 2），比賽就此結束，巴西隊慘遭淘汰。此前的 1/8 決賽中，E 組出線的兩支球隊日本和西班牙也都倒在了點球大戰上。

圖 2： 巴西隊馬爾基尼奧斯打在門柱上的點球

在點球大戰中罰失點球的原因很多，但歸結起來主要有兩方面：門將撲救水平和主罰球員罰球的質量。點球射門的方向是影響罰球質量的重要因素。巴西隊羅德里戈的點球（圖 1）質量就不高，只要守門不出現判斷失誤，這種中下偏右的射門是相對容易守住的。

圖 3： 哥倫比亞隊誇德拉多的左上角點球

一記高質量的點球，除了要有力量外，還要有刁鑽的角度。例如在 2018 年世界盃 1/8 決賽哥倫比亞對陣英格蘭的點球大戰中，哥倫比亞隊主罰球員誇德拉多射向左上角的點球角度就非常刁鑽（圖 3）。這種情況下，即使守門員判斷出了正確方向，也很難守得住。然而刁鑽的射門角度又會帶來另一個風險：球射到球門外或撞到球門框上（圖 2）。

引言

點球大戰中，主罰球員到底應該往哪個方向射？研究表明［1］，守門員容易撲救的範圍是有限的，這個範圍近似為一個半圓（跳躍包線）區域（圖 4），我們稱為“撲救區”，撲救區外的球門區域稱為“死亡區”。根據每個門將身高、臂長以及反應速度不同，撲救區的範圍又有大有小。

圖 4： 跳躍包線和撲救區

射向撲救區的點球被撲住的機率約為 50%，而射向死亡區的點球被撲住的機率只有不到 20%［2］。因此，點球想要讓對方守門員難以撲住，

問題

。但為了不讓點球射到球門外或撞到球門框上，

就應該瞄準球門左右兩側的死亡區

。那有沒有完美的點球瞄準點，既能讓守門員難以撲住，又能最大程度確保球不射到球門外？請根據圖 4 建立幾何模型，確定出點球的最佳瞄準點。並根據文獻［3］提供的資料，驗證你的想法。

又應該儘可能地讓球遠離球門左右兩側的立柱和上方的橫樑

模型

從圖 4 中不難看出，當我們將點球的瞄準點從球門的底角往上移動到頂角時，球門死亡區的寬度逐漸增大了。因此，球門左右兩側的底角並不是最好的選擇。此外，低位射門時球還很容易觸及地面，這會降低球的速度並降低守門員撲球的難度。因此，

幾何模型

。為了找到這樣的瞄準點，本文建立如圖 5 所示的座標系，其中 a = 3。66 m 為球門的半長，b = 2。44 m 為球門的高度，R為跳躍包線的半徑，本文假定 R = 2。85 m。從幾何角度來講，

點球應瞄準死亡區較高的位置，並讓球儘可能同時遠離跳躍包線、球門橫樑和立柱

最滿足條件的點是與跳躍包線、球門橫樑和立柱同時相切的圓的圓心，即圖 5 中的

。在球門左側對稱的位置還有一個這樣滿足條件的點，下文僅以右側的P點為例展開討論。

圖 5： 最佳瞄準點的幾何位置

要確定 P 點的準確位置並不難，假定其座標為 （x，y） ，根據圖 5 中幾何關係有

將 x = a-r 和 y=b-r 代入上式並稍加整理可得

上式是 r 的

P點

，由求根公式可知方程的兩個根為

述（最多18字）

將 a =3。66 m，b = 2。44 m 和 R = 2。85 m 代入上式，可得一元二次方程的兩個解：r₁ = 0。65 m 和 r₂ = 17。25 m。兩個解對應的幾何情況如圖 6 所示，顯然 r₂ = 17。25 m 並不符合實際情況。因此，我們取 r = 0。65 m。這表明，我們要瞄準的目標點 P 位於距離球門橫樑和立柱都為 0。65 m 的位置。當然我們也可以給出 P 的座標 （3。01， 1。79）。

圖 6： 一元二次方程的兩個解

以上模型和求解過程對點球大戰的主罰球員有參考意義嗎？當主罰球員準備罰球點時，

一元二次方程

圖 7： 最佳瞄準點的參考位置

在實踐中我們有更有效的方法來確定P 的大致位置：

他們會去考慮一元二次方程嗎？當然不會，而且也沒有足夠的時間考慮！

。如果讓守門員以圖 7 的方式站立在門柱旁，P 點剛好位於守門員的頭右側一點點。包括女子足球在內的專業比賽中，守門員的身高都比較高。例如克羅埃西亞隊門將多米尼克·利瓦科維奇身高 188 cm，而中國女足門將趙麗娜身高也是 188 cm。因此這種確定 P 點大致位置的方式既適用於男足，也適用於女足。

0.65 m 差不多是一個正常身高守門員的臂長

上文中幾何模型給出了點球最佳瞄準點的精確位置，但我們沒有足夠精細的資料來確認這個精確位置。

統計模型

幾何模型確定的最佳瞄準點位於球門的右上角。因此，只要實際資料表明瞄準右上角的點球得分頻率高於其它區域就能一定程度上證明幾何模型的合理性。

圖 8： 資料集對球門區域的劃分

接下來，我們透過分析 Kaggle 資料集［3，4］來證明幾何模型的合理性。

罰點球的運動員不會瞄準一個精確的點，而是一個大致的區域。

資料集將球門劃分為左上、中上、右上、左中、中、右中、左下，中下和右下 9 個區域（圖 8），並記錄了每一次點球射向的區域和是否得分。透過對資料的簡單統計，我們得到了球門各區

該資料集給出了 1982 年至 2018 年世界盃點球大戰中所有點球的資料。

N（i）， i = 1， 2， 。。。 ， 9（圖 9）。

圖 9： 各區射門次數

從圖 9 中不難看出，射向球門下部的點球明顯高於中部和上部，

射門的次數

。射向球門左側區域的點球數量明顯高於中間和右側區域，

這可能是因為瞄準球門底部相對容易和穩妥

。這兩個原因的疊加，使得射向左下區的點球數量最多，而射向右上區的點球數量最少。

圖 10： 各區進球次數

然而，瞄準一個區域的點球數量多並不意味著進球的次數就多。為此，我們還統計了

這可能是因為大多數球員都習慣用右腳罰點球

， n（i） = 1， 2， 。。。 ， 9（圖 10），結果表明，各區進球次數的分佈與各區射門次數類似，也是下部高於中部和上部、左側高於中間和右側。

僅從每個區域的射門次數或進球次數並不能看出每個區域的射門成功率。但我們可以用每個區域的進球次數 n（i） 除以射門次數 N（i） 來計算出每個區域的

射入每個區域得分的點球數量

：

結果如圖 11 所示。從圖中不難發現，射向球門右側區域的點球得分頻率高於左側和中間區域，

得分頻率

。

圖 11： 各區進球頻率

和我們預想的一樣，左右兩側的進球頻率高於中間區域，而左右兩側區域的上部得分頻率也高於中部和下部。左側區域的得分頻率略低於右側，這表明守門員左右手的差別會使射向左側區域的點球得分頻率略低於右側。

這可能是因為大多守門員的左手不如右手靈活（注意：守門員的左右和主罰球員的左右是相反的）

總而言之，射向右上區的點球得分頻率最高、其次是右中和左上區。

本文旨在確定點球大戰中最佳瞄準位置，以最大限度地提高點球得分的成功率。根據分析，最佳瞄準點應儘可能同時遠離跳躍包線、球門橫樑和立柱。為了找到這樣的瞄準點，本文建立了幾何模型，確定了最佳瞄準點是與跳躍包線、球門橫樑和立柱同時相切的圓的圓心，並透過一元二次方程的求解得到了該點的精確位置：球門內距離橫樑和立柱都為 0。65 m 的點。為了能在實踐中應用模型的結果，我們還給出了一個快速確定最佳瞄準點大致位置的方法。

為了驗證幾何模型的結果，我們對 1982 年至 2018 年世界盃點球大戰中所有點球的資料進行了統計分析。結果表明，左右兩側的進球頻率高於中間區域，而左右兩側區域的上部得分頻率也高於中部和下部。射向右上區的點球得分頻率最高、其次是右中和左上區。這一定程度上證明了我們幾何模型的合理性，因為幾何模型給出的點球最佳瞄準點就位於球門的右（或左）上角。

結論

［1］

Ken Bray。 How to take a perfect penalty， 2014：

［2］

Ken Bray。 Hitting the spot， 2014：

［3］

Kaggle。 World cup penalty shootouts： Data for every penalty kick in a world cup shootout from 1982 to 2018， 2020：

［4］

Anish Ravilla and Ishika Sanghi。 Deciding where to finish： The math behind the penalty shootout， 2021：

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參考資料

原標題：往哪射？點球大戰最佳瞄準點！