關於湍流的核心定律的第一個數學證明

本文源自馬里蘭大學計算機數學與自然科學學院

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翻譯作者，凝聚態小土豆

，哆嗒數學網翻譯組成員。

校對：Math001

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馬里蘭大學的數學家們為先前不確定的物理定律提供了數學解釋，並揭示了定律的適用範圍

工程師們可不可以直接用數學方程設計出更好的噴氣式飛機，從而大大減少對實驗測試的需求量？天氣預測模型可不可以精確預測海洋熱量轉化為颶風的細節過程？從目前來看這些構想暫時難以實現，但隨著我們對湍流機理的越來越完備的數學解釋，這些構想將在未來成為可能。

馬里蘭大學的數學家Jacob Bedrossian， Samuel Punshon-Smith以及Alex Blumenthal首次提出了嚴格的數學證明來解釋湍流的基本定律——Batchelor定律。該定律的數學證明過程將於2019年12月12日在英國工業與應用數學學會（Society for Industrial and Applied Mathematics）的一次會議上公佈。

雖然所有的物理定律都可以用數學方程來描述，但許多定律並沒有詳細的數學證明來解釋定律背後的基礎原理。而湍流無疑是非常難以得到嚴格數學解釋的物理領域。從海浪、翻滾的雲層和高速行駛的車輛後面的尾流可以看出，湍流是流體（包括空氣和水）的無序運動，包括壓力與速度的看似隨機的變動。

湍流是描述流體流動的N-S方程如此難以求解的原因，曾經有人懸賞百萬美元獎勵能用數學方法充分解釋湍流的人。要理解流體流動，科學家必須首先理解湍流。

UMD的數學教授、該證明的合著者之一Jacob Bedrossian說：“如果一個給定的物理定律是正確的，那麼觀測對應的物理系統並從數學上理解它應該是可能的。”“我們相信，我們的證據為理解為什麼Batchelor定律，也就是關於湍流的一個關鍵定律，在某種程度上是正確的提供了基礎，而迄今為止的理論物理工作還沒有做到這一點。”這項工作可以幫助解釋在湍流實驗中觀測到的一些變化，並預測可以適用和不適用Batchelor定律的情況。

自1959年引入Batchelor定律以來，物理學家們一直在爭論這條定律的有效性和適用範圍。Batchelor定律有助於解釋化學濃度和溫度變化如何在流體中分佈。例如，把奶油攪拌到咖啡中會產生一個大漩渦，上面會有小漩渦分支，甚至更小的漩渦也會分支。隨著奶油與咖啡的逐漸混合，漩渦越來越小，每一層的細節也在變化。Batchelor定律預測了不同尺度下漩渦的動力學細節。

該定律在以下幾個方面得到驗證：化學物質在溶液中的混合過程，流入海洋的河水與鹽水的混合過程，流入北方的灣流溫水與較冷的水的混合過程。學者們圍繞這一重要定律的解釋，已經發表了多篇重要工作，包括著名的大學教授Thomas Antonsen與Edward Ott在UMD的工作。然而，對於Batchelor定律的完整數學證明仍然是難以摸透的。

未涉入這項研究的明尼蘇達大學數學教授Vladimir Sverak說，在Bedrossian教授和他的合著者的研究之前，Batchelor定律只是一個猜想。相關實驗資料的支援，可以幫助人們推測定律的成立條件。而該定律的數學證明可以看作是在理想條件下的一致性檢驗，並且可以讓我們更好地瞭解流體中到底發生了什麼，從而啟發未來研究的發展方向。

“我們不確定這是否可行，”Bedrossian說，他同時還在UMD的科學計算和數學建模中心工作。“普適的湍流定律被認為過於複雜，無法用數學方法來解釋。但是我們能夠透過結合多個領域的專業知識來解決這個問題。”

作為偏微分方程方面的專家，Bedrossian聘請了兩名UMD的博士後研究員來幫助他解決這個問題。Samuel Punshon-Smith （17歲，博士，主攻方向為應用數學統計與科學計算），現在是布朗大學的Prager助理教授，是機率統計方面的專家。Alex Blumenthal是動力學系統和遍歷理論（數學的一個分支，包括眾所周知的混沌理論）的專家。研究者專長的四個不同的數學領域在其他方面很少相互影響到這個程度，但在這個問題上是必需的。

Sverak說：“解決這一問題的方法確實富有創造性和創新性，甚至可能比證明本身更重要。Bedrossian教授和他的合著者的論文中的觀點很可能在未來的研究起到很大的作用。”

該團隊在這個問題上的研究達到了新的水平，為提出數學證明來解釋其他未經證實的湍流定律奠定了重要基礎。

Bedrossian：“如果這個證明就是我們能達到的全部成就，也可以確定我們實現了一部分研究目標。”但我希望這僅僅是一個開端，從此以後我們可以明確地宣稱‘是，我們可以證明湍流的普遍性定律，並且它們並不超出數學的範疇’。現在我們對如何用數學來研究這些問題有了更清晰的理解，我們正在努力構建研究這些定律所需的數學工具。

瞭解更多湍流定律背後的物理原理，最終可能有助於工程師和物理學家設計更好的交通工具、風力渦輪機和類似的技術，或做出更好的天氣和氣候預測。

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