高中數學：絕對值的幾何意義，這裡有較詳細的剖析，百家號獨發

下面這道題，如果自己仔細讀題、認真獨立思考，能夠解出來。

相反，如果不自詡讀題審題，如果有動輒查答案的壞習慣，那隻能越看越迷糊。

這就是成績提高的奧秘：遇事沉穩，看清看準，周密思考；擺脫答案，自強求福；徹底擯棄依賴性。

奧秘：做題沉穩，認真思考，擺脫答案。

01

高中絕對值幾何意義典型例題詳細原創解析

高中數學典型例題題幹。

02

解前分析

有同學一看題就厭煩。

定義在

R上？你定義在蒜苗上又咋？你定義在雞蛋上又咋？反正我不做！哼！

這類題，已經考了

10多年了。

那劉老師你還擱這兒囉嗦什麼？

我今天就耍個無賴，對這類題做一下透徹解析。

數學題，不外乎

2種解題思想：分類討論和數形結合。

另外，類似題，網頁上的答案几乎千篇一律，不易讀懂。

劉老師稍做深層次剖析，保證您容易讀懂、豁然開朗。

03

利用絕對值的幾何意義求解

由題意，

f（x）=|x-n|-2n（x≥0）

f（x）=-|x+n|+2n（x＜0）

中途釋疑：

x＜0時的表示式是如何得出的？

請看：

x＜0，-x＞0，

由題意，自變數大於零時有：

f（-x）=|（-x）-n|-2n

=|x+n|-2n，

∵奇函式，

故

f（x）=-f（-x）

=-|x+n|+2n。

以上為前奏。

以下根據

x＞0和x＜0

求

n的取值範圍。

f（x）定義域為R，奇函式。

情形一：

當x＞0時：

f（x+6）＞f（x）恆成立，即

|（x+6）-n|-2n

＞

|x-n|-2n，

|x+6-n|

＞

|x-n|，

|x-（n-6）|

＞

|x-n|，

這東西如何理解？

把

x、（n-6）、n均看作數軸上的點。（n-6）當然在n的左側6個單位。

這東西表示：

在數軸上某一點x，到點(n-6)的距離，大於到點n的距離。

顯然，與點

（n-6）和點n等距離的點，是二者的中點［（n-6）+n］÷2=n-3。

但，點

x到點（n-6）的距離較大於到點n的距離，

故，點

x應位於中點（n-3）的右側。

而這是

x＞0的情形，

故，必須並且只需中點在原點左側，即

n-3＜0，n＜3。

這樣才能保證原點右側的

x與點（n-6）的距離較大。

情形一附圖。

以上解法的依據是絕對值的幾何意義。

查遍網頁，令人失望的是查不到淺顯易懂的有力解釋。

網頁普遍一句話：

x＞0，由絕對值的幾何意義可知，n-6+n＜0，解得n＜3。

這確實令人費解。假如我是初學者，一時也很難看懂。

為什麼互相抄襲、不給出詳細的解釋呢？悲哀啊。

對於

|x-（n-6）|

＞

|x-n|，也有人想到兩邊平方。您認為這能解出n＜3嗎？

認真領會，多加思考，勤於鑽研探究。

情形二：

當x＜0時：

此情形下

x＜0，（x+6）是大於零、還是小於零呢？有必要細分討論。

①若x+6＜0，

x更小於零，而在自變數小於零的情況下有：

f（x+6）=-|（x+6）+n|+2n，

f（x）=-|x+n|+2n，

∵f（x+6）＞f（x）恆成立，

∴|（x+6）+n|

＜

|x+n|，即

|x-（-n-6）|

＜

|x-（-n）|，

這東西表示：

在數軸上某一點負數x，到點(-n-6)的距離，小於到點(-n)的距離。

顯然，與點

（-n-6）和點（-n）等距離的點，是二者的中點［（-n-6）+（-n）］÷2=-n-3。

但，點

x到點（-n-6）的距離較小於到點（-n）的距離，

故，點

x應位於中點（-n-3）的左側。

故，必須並且只需中點在原點

O的右側，即-n-3＞0，n＜-3。

這樣才能保證原點左側的

x與點（-n-6）的距離較小。

情形二附圖。

順便指出，很多網頁上，由

|x-（-n-6）|

＜

|x-（-n）|得-n-6-n＞0，進而竟然得n＜+3。誰告訴我這是怎麼解的。

②若x+6＞0，x＜0，

此情形下，分別遵循大於零、小於零的函式表示式如下：

f（x+6）=|x+6-n|-2n，

f（x）=-|x+n|+2n，

由

f（x+6）＞f（x）恆成立得

|x+6-n|-2n

＞

-|x+n|+2n，

即

|x+6-n|

+

|x+n|

＞

4n，

|x-（n-6）|

+

|x-（-n）|

＞

4n，

這個傢伙的幾何意義是：數軸上點負數

x，到點（n-6）的距離，與到點（-n）的距離之和大於4n。

兩絕對值的和大於4n，顯然無論n＜0或n=0，均成立。

當n＞0時，

由絕對值不等式

|x-a|+|x-b| =

|a-x|+|x-b|

≥ |（a-x）+（x-b）|

= |a-b|知

|（n-6）-（-n）|

＞

4n，

則

|2n-6|

＞

4n，

這東西又該怎麼辦？

好辦。這是n＞0的情形。但不知（2n-6）是否大於零。

若

2n-6＞0，由2n-6＞4n得n＜-3，這與n＞0的前提相矛盾。

若

2n-6＜0，就好像由|-3|＞2得-（-3）＞2，由6-2n＞4n得n＜1。

當然，您可以數形結合。分別畫出

y=|2n-6|和y=4n的影象，如下圖，也可直觀地看出0＜n＜1。

綜上，當

x＞0時，n＜3；當x＜0時，n＜-3或0＜n＜1。

以上是利用絕對值幾何意義求解過程。

至於數形結合，將

原影象向左平

6

個單位

後，恆在

原影象

上方時，留給讀者思考。

至於到兩點距離之差，到兩點距離之和，即能否與雙曲線、橢圓概念相結合，也留給讀者思考。

劉老師只想說，

在網上發文，要對自己負責，更要對讀者負責；要有自己的原創風格、哪怕出錯，而不宜相互抄襲。

認真努力學，依靠知識飛躍。

【作者簡介】

中共黨員，高中教務主任，常年擔任一線教育教學，中考命題組成員。專注教育領域，持續釋出中考、高考優質典型例題詳細原創解析。

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