地理加權迴歸概念介紹(蝦神專輯摘要)

（一）先丟擲“空間異質性”這個問題

當資料缺失時，可透過迴歸方程進行補全。

全域性迴歸

會出現各種問題，相比之下，

區域性迴歸

效果更佳。

例如：

在我們印象中大機率會認為：人口多少與財政收入往往是正相關。

拿山東省·分市區的資料（來源：山東省統計資訊網）來做個

全域性迴歸

看看

R-squared（判定係數）越接近1，迴歸模型效果越好。

0.04

：自變數只能解釋4%的因變數的變化，基本叫沒有什麼關係。。。

但如果抽取一個市的資料算一下，發現：

威海區域性迴歸，係數高達0。966 青島的可解釋性居然只有1%

結論

：

當一個數據，在A區域有很強的解釋能力（威海：人口數量→財政變化，可解釋性超過96%）

但在B區域的解釋卻非常不顯著（同居魯東的青島）

以上這種，不同區域具有不同性質的情況，就是空間分析裡無所不在的

空間異質性 。

(二)為什麼提出GWR

從概念來說，進行

global model

分析前，其實已經假定了“

同質性

”（homo·gene·ity），從而掩蓋了變數間關係的區域性特徵。

也就是說，

全域性模型

得到的結果，即研究區域內的某種“

平均

”。

例如：北京人均年薪17。7萬

這種 “地理位置變化 → 變數間關係/結構的變化” 稱為

空間·非平穩性

（spatial non·station·arity）

Attention： 空間非平穩性 ≠ 空間異質性 （前者是後者的一種

表現形式

）

引起空間非平穩性的三個

原因

：

①隨機抽樣的誤差  ②自然、人文環境等差異  ③分析模型與實際不符

傳統的

應對方法

：

①區域性迴歸分析

：將研究區域劃分為若干個同質性的區域分別進行迴歸

（問題：樣本數量不一致，導致擬合所得的估計引數不同；行政區劃本身存在各種特殊情況，導致估計與實際不符，因為在現實中交界處的變化是緩慢而連續的，而邊界劃分會產生突然的“跳變”）

改進——移動視窗迴歸：在每個樣本週邊定義一個迴歸區域，以其中的樣本資料建立迴歸方程進行引數估計（視窗大小和性質決定區域）

對比：

依然無法避免相鄰迴歸點上引數估計的跳變問題

②變引數迴歸模型

（GWR的前身）

一種趨勢擬合法，當模型引數變化複雜時，此模型就歇菜了。

於是1996

地理加權迴歸模型(GWR)

被提出

（三）具體計算公式

GWR繼續應用了

變參迴歸 

和

區域性迴歸

的思想，在迴歸時使用了空間關係作為權重加入到運算中。

全域性迴歸

vs

區域性迴歸

：

區域性迴歸看起來就像縮小版的全域性迴歸

地理加權迴歸

：

最重要的就是 “距離衰減函式”

首先：劃定研究區域，通常這個區域也可以包含整個研究資料的全體區域（以此擴充套件，可以利用空間關係（比如k-臨近），進行

區域性地理加權計算

）……

接下來：利用每個要素的不同空間位置，去計算

衰減函式。

於是就可以把每個要素的

空間位置

（一般是座標資訊（x，y）） 和 要素的

值

帶入到這個函數里，得到一個

權重值

，這個值就可以帶入到迴歸方程裡了。

這個衰減函式的理論基礎：地理學第一定律（Tobler‘s First Law）

利用公式對所有的樣本點進行

逐點

的計算。

其他樣本點 根據 與計算樣本點不同的空間關係 賦予

不同的權值

，得出每個不同樣本的相關

迴歸係數

了。最後透過解讀這些個係數，完成整個地理加權迴歸分析整個分析過程。

【計算公式】

不同點→不同

值：體現空間異質性

空間權重矩陣

：

無向圖

距離矩陣

將以上矩陣帶入方程

常見的

空間權重函式

：

①高斯函式（

Gauss

）

距離可以是：歐式、曼哈頓。。。 。。。

②雙重平方函式（

Bi-Square

）

b：頻寬 / 視窗大小

THEN

如何確定頻寬？→

(五)

①交叉確認·CV

（Cross Validation）

②赤池資訊量準則·AIC

（Akaike information criterion）

（四）兩類應用最多的空間權重計算函式

空間權重矩陣 就是用

空間關係 

概念化計算來的

ArcGIS中的 七類·空間關係

距離閾值

：在指定範圍內權重為1，剩下就是反距離（距離反比：距離越遠，權重越小）

：一個常數（經驗值在0~3，取0就是全域性迴歸）

存在

問題

：當d_ij=0（迴歸點和樣本點重合）時，權值

無窮大

。若剔除又會使精度降低。

因此，我們選擇一個連續單調的

遞減函式

來表示 權重w和距離d之間關係，以此來克服反距離的缺點。（下面列出兩種應用最為廣泛的方法）

①Gauss函式法

b越大，權重隨距離衰減越慢

但與直接的反距離公式不同：當頻寬為0的時候，只有迴歸點上的權值為1，其他各觀測點的權重都無限趨近0。當頻寬無窮大的時候，所有的觀察點權重都無限接近1，那麼就變成了全域性迴歸。

只要頻寬給定了，距離d為0的時候 ，權重達到最大（w =1）。而隨著距離的增加，權重w逐漸減少，當離得足夠源的時候，權重w就無限接近於0了。所以這些足夠遠的點，可以看成對迴歸點的引數估計幾乎沒有影響。

但是，如果資料非常離散，就會產生“

長尾效應

”（大量的資料躲得很遠），帶來大量的計算開銷。所以，在實際運算中，應用的是

近高斯函式

來替代高斯計算，把那些影響很小的點給

截掉

，以提高效率。

②Bi-Square函式

距離閾值法 + Gauss函式法

迴歸點在頻寬的範圍內，透過 “高斯連續單調遞減函式” 計算資料點的權重，超出的部分，權重全部記為0。

（五）兩種確定頻寬的方法

①“交叉驗證法”

（Cross Validation）

進行迴歸引數估計時，不包含迴歸點本身。

將不同頻寬對應的CV繪製成

趨勢線

：

最小CV值 → “最佳頻寬”

通俗地說：把資料分成N組，用其中一部分用來

計算

，另外一部分資料就用來

驗證

；之後用另一部分進行計算，使用前一部分進行驗證。

應用舉例：驗證哪種戰術效果最好。

具體方法：把所有隊員分成若干組，然後用不同的戰術相互進行PK。不斷重新隨機分組再來一次，最後統計不同戰術的勝率。

②“最小資訊準則”

（Akaike information criterion）

AIC = （2倍（模型的獨立引數個數）- 兩倍 ln（模型的極大似然函式））/ 觀測值個數

首先假設：誤差的出現服從獨立正態分佈。所以採用

極大似然函式

就有意義了。

（極大似然函式：簡單的說，假設有

N種

結果，如果我們僅作

一

次實驗，出現哪個結果，就認為哪個結果機率最大。）

當我們有一堆可供選擇的模型引數的時，選

AIC最小

的。

（AIC的大小取決於 “獨立引數的個數” 和 “模型的極大似然函式兩個值”。引數值

少(模型簡潔)

，AIC

小

；極大似然函式

大(模型精確)

，AIC

小。

）

當兩個模型之間存在較大差異的時候，這個差異肯定首先出現在模型的極大似然函式上；而這個函式沒有出現顯著的差異的時候，模型的獨立引數個數才起作用了，從而，引數個數越少的模型，表現得

越好

。也就是這個原因，這個準則才被稱為：

最小資訊準則

。（鼓勵資料擬合的優良性，透過控制

自由引數

的多少

避免

出現

過度擬合

。）