“韋達定理”+“反點斜式”+“目標函式”——玩轉圓錐曲線題

引子：

圓錐曲線試題作為高考高難度甚至壓軸題，一直是廣大高考學員甚至是所有高中學員的一塊心病和揮之不去的“夢魘”。這麼說毫不誇張，據我的學員和我說，她的同學被圓錐曲線題完全弄得絕望了！客觀的說，圓錐曲線有如此境遇確實和它本身的難度扯不開關係。原因有三：1、知識面涉及廣。圓錐曲線題不只是涉及圓錐曲線本身，同時經常和函式、一元二次方程、幾何等等知識相聯相關。2、因為涉及的知識面多而廣，故解題過程比較複雜，花費時間長，打持久戰一直是廣大高中學員不願意做的事情。3、也是最主要的：代數化簡繁雜，抽象思維要求高，對學員的綜合計算推導能力要求高！儘管如此，本文將透過“韋達定理”+“反點斜式”+“目標函式”三個方面玩轉圓錐曲線試題。讓你找到一條捷徑，原來運用“韋達定理”+“反點斜式”+“目標函式”——可以輕鬆玩轉圓錐曲線題。

遊戲規則介紹：

小兒垂釣自學始，

圓錐曲線：

平面與圓錐相交所成的切面，有橢圓、雙曲線、拋物線以及圓四種。平時我們一般僅指除圓外的三種。橢圓、雙曲線、拋物線分別有如下不同的性質和特徵。

橢圓：

雙曲線：

拋物線：

直線方程：

韋達定理：

目標函式：

題目中能用韋達定理表示的條件，比如兩直線的斜率之和，線段的長度，兩個向量的點積等等用韋達定理表示的函式表示式。

遊戲開始：

第一步：理論分享與證明

（以橢圓為例進行與直線相交聯立分析）

第二步：高考真題分享

解：

由題意有如下示意圖：

下圖請欣賞：拋物線與直線相交動態圖

第三步：小結

從以上的橢圓與直線相交的理論推導求解韋達定理，以及實操中【2019全國一】題中涉及的拋物線與斜率不變的平行直線問題和【2018全國一】題涉及的橢圓與過橢圓內一定點的旋轉直線問題的兩道高考真題。分別透過圓錐曲線與直線聯立得出“韋達定理”，同時因為用的是“反斜率直線方程”，【2019全國一】題中“目標函式”是關於“兩段焦點弦的和”，“過定點直線兩段弦的向量關係”和“弦長公式”需要運用“韋達定理”的數量關係；【2018全國一】題中的直線與x軸垂直的問題因運用“反斜率直線”不需要單獨討論“k不存在”的情況（令m=0即可），同時“韋達定理”的解答過程和表達也有一定的簡捷，最後在“目標函式”——“斜率和”的解答過程中也表現解答簡捷方便。即透過本文的圓錐曲線與直線相交的理論推導和高考真題運用，“韋達定理”+“反斜率直線方程”+“目標函式”能很好的解答圓錐曲線試題，方法“模組化”，能像拼圖遊戲一樣往裡填圖，同時計算簡捷方便，值得推廣。

第四步：遊戲結束！