「如虛如實說」| 能量與能量轉換之機械能（一）

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能量（Energy）是個很大的題目。能量有多種形式，包括機械能、熱能、電能、光能、聲能、化學能、原子能等。機械能又分為動能和勢能（包括重力勢能和彈性勢能）。當電場交變時會和磁場交變耦合在一起，產生電磁能。不同形式的能量可以互相轉換。有些形式的能量易於儲存，有些難以控制。人類的科學進步史就是開發和使用各種能量的歷史。在這裡，我們將講述一系列科學家與工程師們發現與發明各種能量和能量轉換的故事。他們的努力成就了我們今天的生活。

我們無時無刻不在使用各種形式的能量。表1給出了各種形式能量轉換的一些例子。表中的各行可以看成輸入的能量，表中的各列可以看成轉換後輸出的能量。例如蒸汽機的輸入是熱能，輸出是動能。又如舉重時舉起槓鈴是輸入動量，輸出的位置勢能使舉重者感覺到重力。類似的例子還有很多。

表1，各種形式轉換的一些結果

人的生活無非是衣食住行。“衣”需要紡織（機械），“食”需要加熱（熱能），“住”需要建造（機械），“行”需要車船（機械）。所以人們最先研究的是機械能與熱能。

我們先來看看機械能。

早在兩千多年前，古埃及、古希臘、古中國都已經發明瞭各種機械裝置。到了公元前400左右，古希臘人對機械做了比較系統地研究。他們精於幾何，首先研究了一些基本的機械元件，如槓桿（Lever）、碶子（Wedge）、斜面（Inclined plane）、螺絲（Screw）、滑輪（Pulley）、輪軸（Wheel and axle）（圖1）。利用這些基本機械元件就可以做出各種各樣的機械裝置。機械這個詞的英文“Mechanics”源自古希臘語，原意為把舞臺上佈景拉起來的裝置。把舞臺上的佈景拉起來用的就是滑輪。

圖1，基本機械元件

當時最著名的發明家是阿基米德（Archimedes，公元前287—公元前212）（圖2）。阿基米德出生於義大利西西里島的海港城市錫拉丘茲（Syracuse）。他的父親是國王的親戚，也是位著名學者。阿基米德年輕時曾去埃及的亞歷山大城，師從著名的數學家歐幾里得（Euclid，約公元前330年—公元前275年）。他學成後回到家鄉，一直是國王的好友、重臣。一次，國王委託他建造了一艘能載600人的大船，大船建好後發現漏水，他就設計了一個螺旋式的抽水機（圖3（a）），搖動手柄就可以抽水，十分方便。這個設計至今在世界各地還在使用。他的另一個發明是里程錶（圖3（b）），這個里程錶是個小車，推動小車就可以丈量走過的里程。阿基米德最出名的故事是發現了物質的比重：國王做了一個金冠，卻無法確定金冠是不是純金的，於是請來阿基米德幫助鑑定。阿基米德久思不得其解。一天，他在水盆中洗澡時無意間把手放進了澡盆，澡盆中的水因此漫出，他忽然想到不同物質的密度不同，因此同樣重量的不同物質排出的水量不同。他光著身子衝到大街上高聲大叫“Eureka！Eureka！”（我發現了）。從此，“Eureka”就成了科學家們追求的一個境界。

他還有一句名言：“給我一條足夠長的槓桿和一個支點，我將撬起整個世界”。

圖2，阿基米德

阿基米德生活的年代正值羅馬人入侵。為了保衛自己的家鄉，他設計好幾個守城的利器。其中一個是抓船機（圖3（c）），那是一個高高架起的槓桿，在城裡的一頭拴著平衡石塊，在城外的一頭拴一個爪子，可以把船勾住掀翻。另一個是聚光鏡，據說可以集聚太陽光線，點燃船隻（圖3（d））。這些機械裝置讓羅馬人嚐盡了苦頭。公元前212年，羅馬人最後破城。破城之日，領軍的將軍明令不可傷害阿基米德。當時一個士兵見到一個老人坐在地上思考，就命令他站起來。阿基米德沒有聽見，士兵就把他刺死了。臨死前阿基米德只說了一句：“不要動我的圓（do not disturb my cycle）”。羅馬將軍十分懊惱，他隆重地安葬了阿基米德，並在他的墓碑上刻上了一個圓圈。

阿基米德是古代最傑出的數學家之一，他的發現包括阿基米德螺線、曲線的斜率、長方形的內切圓、等等。

圖3，阿基米德設計的機械

古希臘人雖然瞭解機械，卻不瞭解機械能。這裡有幾個原因。一是古希臘人和古羅馬人用符號來表示數字，1是“I”，2是“II”，3是“III”，4是“IV”，5是“V”，等等。他們也沒有“0”的概念，因此無法寫出數學方程，更無法進行復雜的計算。此外，當時測量方法太簡陋，無法進行準確地測量。

中世紀的時候，穆斯林的學者們從印度引進了數字系統（現在被稱為阿拉伯數字）併發明瞭代數。他們還設計了各種各樣的機械系統，但仍然沒有理解機械能。

首先獲得突破的是偉大的牛頓（Isaac Newton，1643—1727）（圖4）。牛頓有好幾個名垂青史的工作：萬有引力、微積分、光學、牛頓力學。微積分與牛頓力學是機械能的基礎。牛頓力學的三個定律是：

物體保持靜止或做勻速直線運動；

物體的動量隨時間的變化率與該物體所受的外力成正比，並與外力的方向相同，即

，其中，

為物體所受的外力，

為物體的質量；

為物體動量的變化率（加速度）；

相互作用的兩個物體之間的作用力和反作用力大小相等，方向相反。

力雖然能夠感覺得到，但既看不見也難以測量。牛頓力學的三個定律，特別是第二定律，體察入微。真不知道他是怎樣想到的。

牛頓在研究天體執行的時候發現了力學。同時他還發明瞭微積分。微積分的關鍵理念是無窮小。講的無窮小，讀者也許會想到無限分割。無限分割自古有之。阿基米德就曾經用這個方法計算出圓和螺線的面積。在中國三國時代（220—280）的劉徽也用這個方法計算圓周率。然而，無窮小的概念不一樣，它追求的從有到無的變化過程及其結果。

圖4，牛頓

在牛頓之前的笛卡爾（René Descartes，1596-1650）發明了座標系，把幾何與代數聯絡在一起，為微積分打下了基礎。牛頓引入了導數的概念，他舉了一個計算立方體積的例子：

立方體的邊長為

，當

增長為

時，立方體的體積從

變為

； 由於

，因此增量為

；除上

的增量

，得到

： ，代入

讓增量消失（無窮小），最後得到立方體的增量為

。

這個結果是正確的，但推導卻有問題。推導時先是假定

，然後再假定

，顯然有些自相矛盾。這時，萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716）給出了另外一種解決方法。

萊布尼茨出身於一個德國學者家庭（圖5）。他的父親和外公都是法學教授。他自幼沉浸在父親的小圖書館裡，博覽群書。他6歲時父親過世，他更加努力學習，14歲進入法學院，19歲修完了所有的課程。但由於太年輕，不得不到別的學校繼續學習了一年，才拿到了法學博士的學位。萊布尼茨是一位成功的外交家、律師。但在數學和哲學上的貢獻才使他青史留名。1672—1676年他在巴黎工作期間，結識了惠更斯（Christiaan Huygens，1629—1695）及當時許多著名的學者，並發表了一些論文。1673年，他還去了一次倫敦，接受了英國皇家學院院士的榮銜。1675年他聽說了牛頓的工作後，就把自己關於微積分研究的手稿寄到倫敦，請他的朋友代轉給牛頓。牛頓回信表示讚賞（這一段後來被他自己刪掉了），並說自己已經解決了微積分的問題。不過信中只有一堆難以理解的符號與描述，讓人不得要領。1684年，萊布尼茨發表了他的微積分理論。當時牛頓已經名滿天下，是英國皇家協會的主席。他控告萊布尼茨剽竊，並以英國皇家學會的名義把微積分的發明歸功於己。實際上，萊布尼茨用的方法頗為不同，他的推證是基於幾何的，直指“變化”的要點。他把求導記為“

”（即求當

變化時，

變化的方向），而牛頓用的是

。從

可以匯出積分。

因此實際上是萊布尼茨發明—完善了微積分。微積分（calculus）一詞也是他定義的，意為計算的方法。

圖5，萊布尼茨

萊布尼茨與牛頓很不一樣。牛頓不善言談，他的思想天馬行空，常人難以理解。萊布尼茨是律師，能言善道，交遊甚廣，有許多朋友和學生。微積分的理論最終在萊布尼茨的學生們手中得以完善。他胸懷寬廣，雖然受到牛頓的屈抑，但還是十分敬重牛頓。有一次和普魯士國王談起數學，他說從世界開始以來到牛頓，牛頓所做的工作比所有工作總和的一半還要多（Taking mathematics from the beginning of the world to the time when Newton lived， what he has done is much the better part）。”誠然，牛頓是實至名歸，但我們都不會忘記萊布尼茨的貢獻。

萊布尼茨在數學上的貢獻還有矩陣與二進位制。他發明了二進位制，認為那是最具有普遍性的、最完美的邏輯語言。後來他看到了中國的八卦圖，還寫了一篇文章，認為八卦就是二進位制，裡面含有上帝造物的密碼。萊布尼茨和牛頓一樣，終身未婚。

透過牛頓萊布尼茨的微積分，我們可以理解機械運動與機械能。機械運動由牛頓力學來描述。機械能是機械系統中的能量。機械能可以分為動能與勢能。動能（Kinetic energy）首先是萊布尼茲和約翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667—1748）提出來的，後來由英國科學家托馬斯·楊（Thomas Young，1773—1829）定義。“Kinetic”這個詞來自希臘語“kinesus”，意為運動。當一個質量為

的物體以速度

運動時，它的動能

就是

。勢能（Potential energy）是蘇格蘭科學家威廉·蘭金（William John Macquorn Rankine，1820—1872）最先定義的。後來人們又把它細分為位置勢能與彈性勢能。位置勢能顧名思義是由位置確定的，當一個質量為

的物體在離地面的高度為

時，它的位置勢能

就是

，這裡

是地心引力。彈性勢能則由物體的變形所決定。當一個物體的變形為

的時候，它的彈性勢能

就是

。動能和勢能可以互相轉換，這樣的例子在日常生活中就有很多。

（a）從位置勢能變成動能

（b）從彈性勢能變成動能 圖7，動能與勢能的相互轉換

不過，用牛頓力學的方法來求解複雜的運動問題卻不容易。例如，地球繞太陽執行是所謂“兩物體運動問題”（圖8（a）），用一組方程（地球與太陽之間的引力方程）可以解出。牛頓解決了這個問題，從而推證出地球繞日執行的規律。但月球圍繞地球轉、地球圍繞太陽轉是“三物體運動問題”（圖8（b）），需要三組方程（月球與地球之間的引力方程、地球與太陽之間的引力方程、月球與太陽之間的引力方程），很難解決。拖了很多年也還沒人能夠解決。

圖8，兩物體問題與三物體問題

這個問題是怎樣解決了的呢？且聽下回分解 。

撰文：杜如虛（加拿大工程院院士）

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