高中數學——拋物線幾個常用秘技及其推導

（一）拋物線的幾個常用公式

設AB為過拋物線

（p>0）的焦點F的弦

若A（

），B（

），

為弦AB的傾斜角，則

（1）

（2）

（3）

（4）過焦點作兩條互相垂直的弦AB、CD，則

（5）

（6）

則

（7）以弦AB為直徑的圓與準線相切

（8）通徑：過焦點垂直於對稱軸的弦，長等於2p。

（二）易誤點

1．拋物線的定義中易忽視“定點不在定直線上”這一條件，當定點在定直線上時，動點的軌跡是過定點且與直線垂直的直線。

2．拋物線標準方程中引數

p

易忽視只有

p

>0，才能證明其幾何意義是焦點

F

到準線

l

的距離，否則無幾何意義。

（三）與拋物線有關的最值問題的解題策略

該類問題一般情況下都與拋物線的定義有關。實現由點到點的距離與點到直線的距離的轉化。

（1）將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解。

（2）將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決。

（3）引入變數，建立目標函式，利用不等式或者函式性質求解

（四）求拋物線方程應注意的問題

（1）當座標系已建立時，應根據條件確定拋物線方程屬於四種類型中的哪一種；

（2）要注意把握拋物線的頂點、對稱軸、開口方向與方程之間的對應關係；

（3）要注意引數

p

的幾何意義是焦點到準線的距離，利用它的幾何意義來解決問題。

（五）解決直線與拋物線位置關係問題的常用方法

（1）直線與拋物線的位置關係和直線與橢圓、雙曲線的位置關係類似，一般要用到根與係數的關係。

（2）有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|

AB

|＝

＋

p

，若不過焦點，則必須用一般弦長公式。

（3）涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與係數的關係採用“設而不求”“整體代入”等解法。

提醒：涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解。

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