從三角尺到倍角三角形：倍角三角形中三邊的關係及其應用

01——-為什麼三角尺的銳角設計成特殊角？

三角尺的銳角為什麼要做成30°，60°，45°？

——-特殊角唄。

——-可以很方便畫其他非特殊角比如15°，75°等。

——-三邊之比1：√3：2或1：1：√2。

……

這些回答都是對的，但又是不完整的。

下面我們看看，除了大家說的以外，還有哪些原因。

△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，C=90°，

則三邊滿足勾股定理，

a²+b²=c²

即兩邊的平方和=第三邊的平方。

突發奇想：這兩邊的平方差呢？這兩邊的平方差與第三邊有什麼關係？

a²-b²可以用c表示嗎？

如圖1，若∠A=60°，∠B=30°，∠C=90°，則c=2b，a=√3b

————-圖1————

a，b，c三邊顯然滿足勾股定理，

即a²+b²=c²，

不僅這樣，而且

a²-b²=3 b²- b²=2 b²=2b·b=bc，

即

a²-b²= bc.

這個結論對另一塊三角尺是否成立？

如圖2，若∠B=∠C=45°，∠A=90°，則b=c，a=√2b。

——-圖2——

b，c，a三邊顯然滿足勾股定理，

即b²+c²=a²，

不僅這樣，而且

a²-b²=c²= b·c=bc，

即

a²-b²= bc.

這是一般直角三角形所沒有的性質喲！

02——-倍角三角形及其性質

仔細分析產生這一現象的原因：

1。因為直角嗎？

顯然不是，直角只能保證三邊滿足勾股定理：兩邊的平方和等於斜邊的平方。

2。因為特殊銳角嗎？

含30°或者45°的三角形中，三邊也不一定存在這種關係。

3。原因既不是1，也不是2。只能是。。。，再仔細觀察發現：圖1和圖2中，都有“∠A=2∠B”這個條件。即圖1中，60°=2×30°，圖2中，90°=2×45°。

是不是說，撇開那些特殊角，比如，90°，45°，30°，60°。

只要一個三角形滿足：一個角是另外一個角的2倍，三邊就有上述關係呢？

試試看，如圖3，

——-圖3——

△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠A=2∠B，

如圖4，作∠CAB的平分線AD，

——-圖4——-

則∠DAB=∠DAC=∠B，

所以設DA=DB=x，CD=a-x，

並且在△ACD和△BCA中，

∠DAB=∠B，∠C=∠C

所以且△ACD∽△BCA，

因而三邊對應成比例，

即b：a=（a-x）：b=x：c

解得x=bc/a，且b²= a²- bc，

即a²-b²= bc。

上述探究過程說明，一個三角形中，若一個角是另一個角的兩倍，則這個三角形的三邊就存在這種關係。

哪種關係？

試著說明一下：兩邊的平方差，等於另一邊與第三邊之積。

這個說法顯然含糊不清，不滿意！

再來一次。

成倍角的兩角所對邊的平方差（非負），等於較短邊與第三邊之積。

因而，我們就有了下面一般性的結論：

倍角三角形的定義：

一個三角形中，若一個角是另一個角的兩倍，則這個三角形叫做倍角三角形。

倍角三角形的性質

：

倍角三角形的三邊滿足：成倍角的兩角所對邊的平方差（非負），等於較短邊與第三邊之積。

太囉嗦啦！

沒辦法。要說清楚，只能這樣啦！不過對照圖看可簡潔多了（圖形語言多重要喲）。

如圖5，△ABC中，若∠A=2∠B，則a²-b²= bc。

——-圖5——-

從這裡可以看出三角尺的銳角設計成30°，60°，45°，除了前面大家說的原因外，還有一個重要原因：兩塊三角尺也是倍角三角形！

常見的倍角三角形，除了兩塊三角尺以外，還有頂角為36°的等腰三角形（黃金三角形，如下圖）。

03——-倍角三角形的性質應用舉例

這個結論有何用途？

這是大多數最關注的，下面略舉三例說明。

例1.△ABC中，∠B=2∠A，且BC=5，AB=10，求AC的長及三個內角。

分析：你看吧，∠B=2∠A，就說明△ABC是倍角三角形，因而其三邊應該滿足前面總結的那句話（自己畫草圖，看清楚圖喲，哪角對哪邊，哪是第三邊，可要看仔細，小心列式出錯），即得AC²-BC²= BC×AB，代值計算得AC²=75，則AC=5√3，

∵AC²+BC²= 100= AB²，

∴△ABC是Rt△，且∠C=90°，

則∠B+∠A=90°，∠B=2∠A，

解得∠A=30°，∠B=60°。

點評：此題重點在畫草圖和強烈的對應意識！

例2.一個三角形的最大角是最小角的2倍，且三邊為連續整數，求三邊長。

分析：畫草圖，此三角形為倍角三角形喲，設a=x-1，b=x，c=x+1，

則

（x+1）²-（x-1）²=x（x-1）

解得x1=0（捨去），x2=5

所以三邊長為4，5，6。

點評：同上，畫草圖和強烈的對應意識！

例3.如圖6，△ABC中，∠C=3∠A，BC=27，AB=48，求AC的長.

——圖6——-

分析：突然蹦出3倍角，咋辦？分割唄！如圖7，在AB邊上找一點D，連DC，使得∠DCB=∠A，

則∠DCA=2∠A，因而△ACD是倍角三角形，不僅如此，而且△ABC∽△CBD（為什麼？賣個關子！）。

——-圖7————

因而，

由倍角三角形三邊關係得，

AD²-CD²=CD×AC，

由相似三角形三邊關係得，AB：CB=BC：BD=AC：CD，

即 48：27

=27：（48-AD）

=AC：CD，

解得AC=35。

點評：比上面多一條，分割構造倍角三角形。

04——-結語

從特殊三角形（兩塊三角尺）中，發現了區別於勾股定理的三邊的關係，抽絲剝繭發現這種關係是倍角三角形特有的性質，將結論由特殊推廣到一般。從而總結出倍角三角形的性質（三邊的關係），並舉例說明了利用倍角三角形的性質來解決具體問題。這也是一個數學學習者，學習過程中的完整記錄。