衝擊19年中考數學, 專題複習320：二次函式有關的壓軸題

典型例題分析1：

若兩條拋物線的頂點相同，則稱它們為“友好拋物線”，拋物線C

1

：y

1

=﹣2x

2

+4x+2與C

2

：y

2

=﹣x

2

+mx+n為“友好拋物線”．

（1）求拋物線C

2

的解析式．

（2）點A是拋物線C

2

上在第一象限的動點，過A作AQ⊥x軸，Q為垂足，求AQ+OQ的最大值．

（3）設拋物線C

2

的頂點為C，點B的座標為（﹣1，4），問在C

2

的對稱軸上是否存在點M，使線段MB繞點M逆時針旋轉90°得到線段MB′，且點B′恰好落在拋物線C

2

上？若存在求出點M的座標，不存在說明理由．

考點分析：

二次函式綜合題．

題幹分析：

（1）先求得y

1

頂點座標，然後依據兩個拋物線的頂點座標相同可求得m、n的值；

（2）設A（a，﹣a

2

+2a+3）．則OQ=x，AQ=﹣a

2

+2a+3，然後得到OQ+AQ與a的函式關係式，最後依據配方法可求得OQ+AQ的最值；

（3）連線BC，過點B′作B′D⊥CM，垂足為D．接下來證明△BCM≌△MDB′，由全等三角形的性質得到BC=MD，CM=B′D，設點M的座標為（1，a）．則用含a的式子可表示出點B′的座標，將點B′的座標代入拋物線的解析式可求得a的值，從而得到點M的座標．

​典型例題分析2：

如圖，在平面直角座標系中，點O為座標原點，直線l與拋物線y=mx

2

+nx相交於A（1，3√3），B（4，0）兩點．

（1）求出拋物線的解析式；

（2）在座標軸上是否存在點D，使得△ABD是以線段AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的座標；若不存在，說明理由；

（3）點P是線段AB上一動點，（點P不與點A、B重合），過點P作PM∥OA，交第一象限內的拋物線於點M，過點M作MC⊥x軸於點C，交AB於點N，若△BCN、△PMN的面積S

△BCN

、S

△PMN

滿足S

△BCN

=2S

△PMN

，求出MN/NC的值，並求出此時點M的座標．

考點分析：

二次函式綜合題．

題幹分析：

（1）由A、B兩點的座標，利用待定係數法可求得拋物線解析式；

（2）分D在x軸上和y軸上，當D在x軸上時，過A作AD⊥x軸，垂足D即為所求；當D點在y軸上時，設出D點座標為（0，d），可分別表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到關於d的方程，可求得d的值，從而可求得滿足條件的D點座標；

（3）過P作PF⊥CM於點F，利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函式，可用PF分別表示出MF和NF，從而可表示出MN，設BC=a，則可用a表示出CN，再利用S

△BCN

=2S

△PMN

，可用PF表示出a的值，從而可用PF表示出CN，可求得MN/NC的值；藉助a可表示出M點的座標，代入拋物線解析式可求得a的值，從而可求出M點的座標．