向量代數（下）：如何透過向量夾角理解不同“維度”？

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上一講我們講到，要形成合力，就需要力的方向一致。類似的，要走得遠，也需要前進的方向不經常出現偏差，這些都涉及到向量之間角度的計算。而這個計算是依靠餘弦定理完成的。

餘弦定理大家在中學都學過，但我估計絕大部分人都忘了，因為你恐怕一輩子也沒有用一次。這也不能完全怪大家，因為在中學裡，我們教餘弦定理時，主要是為了讓大家知道在三角形已知兩條邊的情況下，如何計算第三條邊的長度，而這件事在我們生活中幾乎用不到。我們的教科書中，對於餘弦定理其它的應用根本沒有講。

今天，我們就從畢達哥拉斯定理出發，給大家定性地講講餘弦定理是怎麼一回事，看看它除了算三角形的邊長外，還有什麼用。

我們先來回顧一下畢達哥拉斯定理。假如三角形的兩條直角邊是a和b，那麼斜邊c²=a²+b²。為了加強你的感性認識，我把之前我們畫的圖又畫了一遍，然後把這個公式寫在了圖的下方：

c²=a²+b²

接下來我問大家一個問題，如果a和b的夾角是銳角，也就是比90度小，那麼c²和a²+b²哪個更大？如果是鈍角呢，也就是比90度大的角，情況又如何呢？這個問題其實我們畫一下圖就一目瞭然了。

從圖中很容易看出，如果a和b的夾角超過90度，也就是圖中藍色的部分，所對應的斜邊比較長，c²超過了a²+b²。如果不到90度，那麼就比較短，c²

也就是說，對比一下c²，以及a²+b²，就知道夾角是什麼樣的角了。為了進一步方便起見，我們把畢達哥拉斯定理重新寫一下，變成這樣一種形式：a²+b²-c²=0，我們將等式左邊的部分，也就是a²+b²-c²作為一個判定因子使用，我們用������表示它。根據������和0比較的大小，就可以判斷夾角。具體的判別如下：判定因子小於0為鈍角，等於0為直角，大於0為銳角。

如果我們回顧一下函式的概念，就會發現������是a，b，c三個變數的函式。對於同樣一個角，如果三角形邊長都比較長，那麼������的動態範圍很大。如果邊長很短，������的動態範圍就很小。

為了消除邊長的影響，我們將������再除以夾角的兩個邊長（a和b）的積，這樣可以保證處理過的������的動態範圍就在-2到+2之間。

如果������=-2，那麼夾角最大，就是180度。如果是0，就是90度。如果是2，就是0度角。當然我們還可以再除以2，將這個值的範圍規整為-1到1之間，事實上它就等於夾角的餘弦。

這樣一來，我們就從畢達哥拉斯定理出發，建立了角度判定因子������和具體角度的關係，然後我們將這種關係稱作餘弦定理。

餘弦定理的思想最初出現在歐幾里得的《幾何原本》中，但是由於當時並沒有成體系的三角學，因此並沒有把這個判定因子和角度的函式用餘弦表示出來。到了15世紀，波斯數學家賈姆希德·阿爾卡西正式提出了餘弦定理。

今天，我們之所以花了不少篇幅講解餘弦定理的來龍去脈，是讓你再次體會數學體系的重要性，因為它可以從已知的定理推匯出新的定理。由此，我們可以體會各種數學概念之間的關聯。當然這只是我們講述餘弦定理的附帶目的，主要目的是介紹向量夾角的計算。

回到向量夾角計算的問題，當兩個向量確定之後，我們可以把它們的起點都挪到原點，它們各自的終點和原點之間，就構成一個三角形，如下圖所示。這個三角形的三條邊顯然是確定的，由此我們可以算出判定因子������，然後根據餘弦定理計算兩個向量的夾角。

接下來的問題就是，算出兩個向量的夾角有什麼用？

它其實有很多的應用，比如可以對文字進行自動分類。這兩件事情看似不相干，怎麼會聯絡到一起呢？下面我們就大致介紹一下計算機進行文字自動分類的原理。

我們知道一篇文章的主題和內容，其實是由它所使用的文字決定的，不同的文章使用的文字不同，但是主題相似的文章使用的文字有很大的相似性。比如講金融的文章裡面可能會經常出現“金融”、“股票”、“交易”、“經濟”等詞，講計算機的則會經常出現“軟體”、“網際網路”、“半導體”等詞。

假如這兩部分關鍵詞沒有重複，那麼我們很容易把這兩類文字分開。假如它們有重複怎麼辦？那麼我們就要看這兩類文章中，各個詞的頻率了。根據我們的經驗，即使在金融類的文章中混有一些計算機類的詞，那麼它們的詞頻不會太高，反之亦然。

為方便說明如何區分這兩類文章，我們就假設漢語中只有“金融”、“股票”、“交易”、“經濟”、“計算機”、“軟體”、“網際網路”和“半導體”這八個詞。假設有一篇經濟學的文章，這八個詞出現的次數分別是（23，32，14，10，1，0，3，2），另一篇是計算機的文章，這八個詞出現的次數是（3，2，4，0，41，30，31，12），這樣它們就各自形成一個八維的向量，我們稱之為V1和V2。

如果我們能夠在八維空間中將它們畫出來，你就會發現它們之間的夾角非常大。我算了一下，大概是82度，近乎垂直，或者說正交。由於這些向量每一個維度都是正數，因此它們最大的夾角就是90度，不會更大了。這說明兩類不同文章所對應的向量之間的夾角應該很大。

如果我們再假設另有一篇文章，八個詞的詞頻是V3=（1，3，0，2，25，23，14，10），那麼它和上述第二篇文章對應的向量的夾角只有7。5度。我用二維的座標將這三個向量的關係大致示意如下。

從圖中可以看出第一個和第二個向量的角度很大，而第二個、第三個的夾角很小。由此，我們大致可以判定第三篇文章應該和第二篇主題相近，也屬於計算機類的。

接下來我們需要思考一個問題，什麼樣的向量之間夾角會比較小，什麼樣的會幾乎正交呢？如果你對比上面三個向量，就會發現這樣一個特點：當兩個向量在同樣的維度上的分量都比較大時，它們的夾角就很小。反之，當兩個向量在不同維度上分量較大時，就近乎正交。

比如第二個、第三個向量，它們在後四個維度分量值都較大，因此它們的夾角就小。而第一個向量在前四個維度的分量較大，在後四個很小，和第二個向量的情況正好錯開，因此就近乎正交。關於向量的夾角，有兩個特殊情況大家需要留心一下：

如果兩個向量在各個維度的分量成比例，則它們的夾角為零。

如果一個向量在所有的維度都相等，比如像（10，10，10，10，10，10，10，10）這樣的向量，它可能和任何一個向量都不太接近。這個性質我們後面還要用到。

當然，在真實的文字分類中不止這8個詞，有10萬這個數量級的詞彙，因此每一篇文章對應的向量大約有10萬維左右，這些向量我們稱之為特徵向量。透過利用餘弦定理計算特徵向量之間的夾角，我們就能判斷哪些文字比較接近，該屬於同一類。

向量不僅可以對文章進行分類，而且還可以對人進行分類。今天很多大公司在招聘員工時，由於簡歷特別多，會先用計算機自動篩選簡歷，其方法的本質，就是把人根據簡歷向量化，然後計算夾角。具體的做法常常是這樣的：

首先，它們會把各種技能和素質列成一張表，這就如同我們在做文字分類時會把詞彙列成一張表一樣，這個表有N個維度。

對於不同崗位人員的要求，體現為某些維度權重很高，某些較低，一些無關的就可以是零。比如說對開發人員的要求主要是六個方面，權重如下：

程式設計能力 40

工程經驗 20

溝通能力 10

學歷和專業基礎 10

領導力 10

和企業文化的融合度 10

對銷售崗位的要求會有所不同。這樣每個職位都對應一個N維的向量，我們假設是V。

接下來計算機會對簡歷進行分析，把每一份簡歷變成一個N維的向量，我們假設是P。

然後我們就計算P和V的夾角，如果夾角非常小，那說明某一份簡歷和某一個崗位可能比較匹配。這時簡歷才轉到相應的HR部門，HR人員才開始看簡歷。

如果某份簡歷和哪一個崗位都不太匹配，這份簡歷就石沉大海了。這種做法是否會有誤差，讓一些好的候選人永遠進不了HR人員的視野呢？完全有可能，但是這種機率並不高，因為計算機做的只是初步篩選，標準是比較寬的。

要知道今天像Google、Facebook或者微軟這樣的公司，一個職位常常有上百個求職者，最少也有十幾個，合格的多則有十個、八個，少則有三五個，漏掉一兩個合格的人，對公司來講沒什麼損失。但是這對於求職者來講，就是100%的損失。因此，

除非有非常強的推薦，否則簡歷寫得不好經常連第一關都過不了。

很多人在寫簡歷時常犯的一個毛病就是重點不突出，他們所對應的向量其實就是一種每個維度數值都差不多的向量。我們在前面講了，這種向量和其它向量的匹配度都不高。

很多人喜歡在簡歷中把自己有關或無關，所有的經歷都寫進去，然後把自己描繪成全能的人，其實在計算機匹配簡歷和工作時，這種簡歷常常一個職位都匹配不上，因為這就像我們前面說的每個分量都是10的向量，和誰的夾角都小不了一樣。

很多人覺得多寫點東西沒壞處，這種認識是錯誤的，這些畫蛇添足的內容其實稀釋了求職者的競爭力。

那麼好的簡歷應該是什麼樣的呢？

如果你在求職單位有熟人，不妨問問他們對某個職位的要求，然後根據這個要求寫簡歷，這樣在他們看中的維度你的得分就高，在他們根本不在意的維度，你也不需要強調。

今天我們講了向量之間的夾角是如何計算的。透過它，我們回顧了畢達哥拉斯定理，介紹了餘弦定理。然後我們用一些例項說明了向量的用途。下一講我們看看，很多向量放到一起，會變成什麼。——吳軍《數學通識五十講》