零點定理與介值定理的奇妙應用（高等數學入門系列拓展閱讀）

零點定理與介值定理的奇妙應用

上一節中我們介紹了一些關於連續函式的難度較大的證明題，本節我們來“輕鬆”一下，來看看零點定理和介值定理在一些“實際”問題中的奇妙應用，從這些問題的表述完全看不到關於連續函式的內容，但解答都用到了連續函式的性質。

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一、概述。

概述

二、煎餅問題。（本例較簡單，可看作下一個問題的鋪墊。）

煎餅問題

關於閉區間上連續函式的零點定理與介值定理的介紹見下文：

高等數學入門——閉區間上連續函式的基本定理

三、雙煎餅問題。（例2是本節四個例題中難度最大的一個，由於結論的“出人意料”及其證明有一定困難，這個結論甚至被戲稱為“雙煎餅定理”。）

雙煎餅問題

四、例2的解答（請讀者仔細分析此證明的“脈絡”）。

例2的解答

五、往返問題（這是一個經典數學趣題）。

往返問題

六、例3作為智力趣題的解答。

例3作為智力趣題的解答

七、例3的嚴格證明。（保證上述影象中兩條曲線必相交這一事實的，正是函式f（t）與g（t）的連續性。）

例3的嚴格證明

八、平均速度問題（注意平均速度等於10m/s這一事實並不能說明此人在某1s內恰好跑了10m）。

平均速度問題

九、例4的解答。

例4的解答

關於“平均值定理”的介紹見下文：

高等數學入門——連續函式的整體性質選講

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高等數學入門——關於連續函式的典型證明題和綜合題