13道典型例題，讓你徹底解決平行四邊形綜合應用之動點問題

所謂“動點型問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點，它們線上段、射線或弧線上運動的一類問題．

解決這類問題的關鍵是動中求靜，靈活運用有關數學知識解決問題．解題時要注意動點的起始位置和終止位置、運動方向，有時還要關注動點的運動速度，注意在運動過程中尋找等量關係．

動點問題思路剖析

問題1：

動點問題的處理框架是什麼？

答：讀題標註，整合資訊（即明確所研究的背景圖形）

問題2：

分析運動過程需要關注四要素是什麼？

答：①起點、終點、速度：標註到圖形中，以示說明

②時間範圍

根據路程、時間和速度的公式s=vt，已知動點的速度，結合基本圖形中線段長的研究，可以確定動點的運動時間

③狀態轉折

狀態轉折即點的運協發生變化的時刻，常體現在動點的運動方向，運動速度發生了改變

④目標或結論導向

根據題意作出圖形，有序操作（分段作圖並求解）

問題3：

在分析幾何特徵，表達時，常見表達線段長的方式有哪些？

答：①路程即線段長，可根據s=vt直接進行表達

已走路程

或

未走路程

②根據研究幾何特徵的需求進行表達，即要利用

動點的運動情況

，又要結合

背景圖形資訊

知識點睛

動點問題的解決方法：

1。 研究背景圖形並標註；

2。 分析運動過程，並適時分段；

3。 表達線段長，建等式和方程．

【分析】（1）表示出PB、BQ的長度，然後根據等腰三角形的兩邊PB＝BQ，列式進行計算即可求解；

（2）根據平行四邊形的對邊平行可得AD∥BC，過點Q作QE⊥AB，垂足為E，根據兩直線平行，同位角相等可得∠QBE＝45°，然後求出QE的長度，再根據三角形的面積公式列式進行計算即可求解；

（3）假設能成立，列式並整理得到關於x方程，如果方程有解且在x的取值範圍內，則能，否則不能．

【點評】本題考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的兩邊相等的性質，一元二次方程的應用，是綜合性題目，難度較大，根據動點的移動表示出邊PB、QB的長度是解題的關鍵，難度較大，計算時一定要仔細小心．

【分析】（1）由題可知，四邊形AEDF為平行四邊形，∠EDF＝∠A，所以在D點運動過程中，只要∠A度數不發生變化，它的度數就不變；

（2）平行四邊形AEDF中，FD＝AE，AF＝ED，因為ED和AC平行，所以∠EDB和∠C相等，又在等腰三角形ABC中，∠B＝∠C，所以BE＝DE，同理，AF＝BE，即平行四邊形AEDF周長等於AB的2倍20；

（3）在D點運動過程中，雖然平行四邊形AEDF形狀會發生變化，但是線段之間的和差關係不變，即平行四邊形AEDF周長永遠等於三角形ABC腰長的2倍．

解答：（1）不變

【點評】本題主要考查了平行四邊形中對邊相等的性質及應用，以及等腰三角形的等角對等邊的性質，難易程度適中．

【分析】由運動時間為x秒，則AP＝x，QC＝2x，而四邊形ABQP是平行四邊形，所以AP＝BQ，則得方程x＝6﹣2x求解．

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質．此題根據路程＝速度×時間，得出AP、QC的長，然後根據已知條件列方程求解．

【分析】（1）由題意已知，AD∥BC，要使四邊形PQDC是平行四邊形，則只需要讓QD＝PC即可，因為Q、P點的速度

已知，AD、BC的長度已知，要求時間，用時間＝路程÷速度，即可求出時間；

（2）要使以C、D、Q、P為頂點的梯形面積等於60cm2，可以分為兩種情況，點P、Q分別沿AD、BC運動或點P返回時，再利用梯形面積公式，即（QD+PC）×AB÷2＝60，因為Q、P點的速度已知，AD、AB、BC的長度已知，用t可分別表示QD、BC的長，即可求得時間t；

（3）使△PQD是等腰三角形，可分三種情況，即PQ＝PD、PQ＝QD、QD＝PD；可利用等腰三角形及直角梯形的

性質，分別用t表達等腰三角形的兩腰長，再利用兩腰相等即可求得時間t．

【點評】本題主要考查了直角梯形的性質、平行四邊形的性質、梯形的面積、等腰三角形的性質，特別應該注意要全面考慮各種情況，不要遺漏．

【分析】設當P，Q同時出發，t秒後其中一個四邊形為平行四邊形，則AP＝3tcm，DP＝（24﹣3t）cm，CQ＝2tcm，BQ＝（30﹣2t）cm，分為兩種情況：①當ABQP是平行四邊形時，根據AP＝BQ得出方程，求出方程的解即可；②當CDPQ是平行四邊形時，根據DP＝CQ得出方程，求出方程的解即可．

【點評】本題考查了平行四邊形的性質的應用，能正確運用平行四邊形的性質得出方程是解此題的關鍵，用了分類思想和方程思想，難度適中．

【分析】由題意可得當點F在C的右側時去分析，由當AE＝CF時，以A、C、E、F為頂點四邊形是平行四邊形，可得方程，解方程即可求得答案．

【點評】此題考查了平行四邊形的判定．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．

【分析】首先設經過t秒，根據平行四邊形的判定可得當DP＝BQ時，以點P、D、Q、B為頂點組成平行四邊形，然後分情況討論，再列出方程，求出方程的解即可．

【分析】（1）根據待定係數法，可得函式解析式；

（2）根據三角形的面積公式，可得方程，根據解一元一次方程，可得答案；

（3）根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可得答案．

【點評】本題考查了一次函式的綜合題，利用了待定係數法求函式解析式，三角形的面積公式，平行四邊形的判定．

【分析】（1）由A、B的座標利用待定係數法可求得直線AB的函式表示式；

（2）分AB為邊和AB為對角線兩種情況，當AB為邊時，則CD∥AB且CD＝AB，過C作y軸的平行線，過D作x軸的平行線，兩線交於點E，則可證明△AOB≌△CED，可求得CE、DE的長，則可求得D點座標；當AB為對角線時，設AB的中點為F，可求得F的座標，則F也為CD的中點，則可求得D點座標；

（3）可設出點Q座標為（0，t），分AC為邊和AC為對角線兩種情況，當AC為邊時，過點C作CM⊥y軸於點M，過點P作PN⊥y軸於點N，則可證明△ACM≌△PQN，則可求得PN、QN的長，可求得Q點的座標；當AC為對角線時，設AC的中點為H，可求得H點的座標，則H也為PQ的中點，則可用t表示出P點座標，代入直線AB的解析式，可求得t的值，則可求得Q點座標．

【點評】本題為一次函式的綜合應用，涉及待定係數法、全等三角形的判定和性質、中點座標公式、平行四邊形的性質及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定係數法的應用，在（2）（3）中確定出所求點的位置是解題的關鍵，注意分類討論．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．

【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形得出：AD∥BC，AD＝BC，∠ADB＝∠CBD，證得FB＝FD，求出AD的長，得出CE的長，設當點P運動t秒時，點P、Q、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，根據題意列出方程並解方程即可得出結果．

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、一元一次方程的應用等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解決問題的關鍵．

【點評】本題考查的是座標和圖形、平行四邊形的判定和性質、二次函式解析式的求法、銳角三角函式知識的綜合運用，正確運用分情況討論思想和數形結合思想是解題的關鍵．

【點評】本題主要是考查了四邊形的綜合題，解題的關鍵是正確分幾種不同種情況求解．

【分析】（1）當C運動到OB的中點時，根據時間t＝路程/速度即可求得，進而求得E的座標；

（2）證明△AOC≌△EPD，則AC＝DE，∠CAO＝∠DEP，則AC和DE平行且相等，則四邊形ADEC為平行四邊形；

（3）首先確定直線DE，EC的解析式，分兩種情形分別構建方程解決問題即可．

【點評】本題屬於四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定與待定係數法求函式解析式，正確求得CE和DE的解析式是關鍵，學會用分類討論的思想思考問題，屬於中考壓軸題．

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