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七年級數學:分類討論中的大局意識

  • 由 愛數學做數學 發表于 棋牌
  • 2022-01-25
簡介g)當射線BE在∠ABG內部時,如下圖:∠ABE=∠CBE-∠ABC=2x-100°,∠DBF=∠DBE-∠EBF=3x-90°,而∠ABE+∠DBF=90°,得方程(2x-100°)+(3x-90°)=90°,解得x=56°,所以∠CBE

大局意識是什麼

七年級數學:分類討論中的大局意識

七年級數學:分類討論中的大局意識

七年級上學期學生已經學過的幾何內容中,角度、線段間的數量關係,往往是期末考查的重點,尤其是動態幾何。繞某個點旋轉的射線,形成的角,其數量關係的表示方法,也是最基礎的數形結合。學生在解決此類問題,最大的障礙在於角旋轉過程中,位置不同導致關係不同,被“轉暈”的大有人在,因此,牢牢把握題目條件,細緻作圖分析,才是解決此類問題的正途。

題目

如圖1,點B為直線AD上一點,過點B作射線BC,使∠ABC=100°,將一直角三角板的直角頂點繞著點B旋轉。

(1)求∠EBC-∠ABF的度數;

(2)將圖1中的三角板EBF繞點B順時針方向旋轉。

①當射線BE、BF在AD上方,且射線BE平分∠DBC時,試判斷射線BF是否平分∠ABC?說明理由;

②旋轉一週過程中,有2∠DBE=3∠CBE,求此時∠CBE的度數。

七年級數學:分類討論中的大局意識

解析:

(1)∠EBC=100°-∠ABE,而∠ABF=90°-∠ABE,二者相減,結果就出來了,∠EBC-∠ABF=10°;

(2)這實際上是教材中的經典例題,不妨作圖如下:

七年級數學:分類討論中的大局意識

①方法一:習慣計算度數的學生,完全可以將其中所有角度全部求出來,∠CBD=80°,而BE是角平分線,所以∠CBE=40°,得到∠CBE=90°-40°=50°,最後∠ABF=100°-50°=50°,所以射線BF平分∠ABC;

方法二:即使沒有前面條件中的100°,我們同樣可證明

∵∠EBF=90°

∴∠ABF+∠DBE=90°

∵∠CBF+∠CBE=90°且∠CBE=∠DBE

∴∠ABF=∠CBF即BF平分∠ABC;

②旋轉一週過程中,我們首先要明確初始位置即圖1中∠DBE和∠CBE的大小,很顯然我們可求得∠DBE=170°,∠CBE=90°,事實上此時C、B、F共線,現在開始順時針旋轉,整個過程需要“大局觀”,即分類的依據是什麼,射線BE是“主動線”,射線BF是“從動線”,整個平面被直線AB,直線BC(為什麼不是射線BC?請思考)分成四個區域,射線BE依次經過這四個區域,也包括與區域分界線重合。我們將條件2∠DBE=3∠CBE改寫成∠DBE:∠CBE=3:2以方便計算。

a)當射線BE在∠ABC內部時,如下圖:

七年級數學:分類討論中的大局意識

不妨設∠CBE=2x,∠DBE=3x,所以∠DBC=3x-2x=x=80°,結果得到∠EBC=2x=160°,顯然這不可能,因為射線BE在∠ABC內部,∠EBC不可能為160°;

b)當射線BE與BC重合時,x=0,但∠DBE=∠DBC=80°≠0,因此也不可能;

c)當射線BE在∠DBC內部時,如下圖:

七年級數學:分類討論中的大局意識

由∠DBE+∠CBE=∠DBC得方程3x+2x=80°,解得x=16°,因此∠CBE=32°;

d)當射線BE與射線BD重合時,x=0,但∠CBE=80°≠0,因此也不可能;

e)當射線BE來到直線AD下方時,如下圖:

七年級數學:分類討論中的大局意識

請注意前面提出的思考,我們在這裡將BC所在直線作出,射線BE位於∠DBG內部,此時∠DBE位於∠CBE內部,不滿足它們的比值3:2,因此不可能;

f)當射線BE與射線BG重合時,∠DBE=100°,∠CBE=180°,也不滿足3:2價值,所以不可能;

g)當射線BE在∠ABG內部時,如下圖:

七年級數學:分類討論中的大局意識

∠ABE=∠CBE-∠ABC=2x-100°,∠DBF=∠DBE-∠EBF=3x-90°,而∠ABE+∠DBF=90°,得方程(2x-100°)+(3x-90°)=90°,解得x=56°,所以∠CBE=112°

h)當射線BE與射線BA重合時,∠DBE=180°,∠CBE=100°,不滿足3:2比值,所以不可能;

綜上所述,∠CBE=32°或112°。

解題反思

對於七年級學生,進行分類討論,如何不重複不遺漏,關鍵在於大局意識,即整個運動過程在頭腦中要有數,經過何處,數量關係和位置關係如何。這種大局意識在平時課堂學習時,就要努力去培養,一題多解,一圖多析等,平日裡功夫做足了,遇到這種需要分類討論的問題,自然不在話下。

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