數學基本知識—極限的基本比較法測、幾個重要的極限

在論述函式的連續性時已經知道連續函式在連續點上的函式極限就是此點上的函式值，而初等函式在其定義域內各點連續，可見對於初等函式（我們所打交道的絕大多數都是初等函式）其定義域內函式極限的求解是非常簡單的。但是，真正具有價值的函式極限點通常是在其第一類間斷點上，這給相關函式極限的求解帶來了挑戰。當然，也正是由於此，《高等數學》才可能有其幾乎無限的用武之地。下面將詳細論述相關內容。

一）無窮小量和無窮大量

無窮小量就是極限為零的數列或函式極限，即lim X（n） = 0或lim f（x） = 0。無窮大量則是以無窮大為其極限的數列或函式極限，即lim X（n） = ∞或lim f（x） = ∞。顯然，無窮小量的倒數是無窮大量，而無窮大量的倒數則是無窮小量。

二）待定型（或不定式）

在求函式商的極限時要求分母函式在極限點上的值不為零。如果在極限點上分母函式和分子函式的值都是零，則其極限點上的函式商無定義。雖然無定義，但此點上函式商的左右極限未必不存在。如果此極限點是個第一類間斷點，或特別的是可去間斷點的話，就可以透過其左右極限定義此點的函式值，故稱為“待定”。

待定型的基本形式是0/0，即分母和分子都是無窮小量。除基本形式外，待定型還有幾種變形，如∞/∞、0*∞、∞-∞、0^0、∞^0、1^∞等。這些待定型的變形都可以透過適當的變換變成基本形式。如：

e^（∞-∞） = ∞/∞ = 0/0

ln（0^0） = 0*∞ = 0/0

ln（∞^0） = 0*∞ = 0/0

ln（1^∞） = ∞*0 = 0/0

待定型的求解一般不那麼直接，需要一定的技巧。但是，對於某些型別可以採用以後將介紹的洛必達法則求解。

三）無窮小量和無窮大量的比較及其階

分析待定型的值可以比較無窮大或無窮小量的變化“速度”，並據此確定相應的階。具體定義如下：

設u（x）和v（x）在x0點上都是無窮小量，即lim［x→x0］ u（x） = lim［x→x0］ v（x） = 0。

1）lim［x→x0］ u（x）/v（x） = 0，則稱u（x）是較之v（x）的高階無窮小量，記為u（x） = o（v（x））。

2）lim［x→x0］ u（x）/v（x） = a ≠ 0，則稱u（x）是較之v（x）的同階無窮小量，記為u（x） = O（v（x））。

3）lim［x→x0］ u（x）/v（x） = 1，則稱u（x）是較之v（x）的等價無窮小量，記為u（x） ~ v（x）。

設u（x）和v（x）在x0點上都是無窮大量，即lim［x→x0］ u（x） = lim［x→x0］ v（x） = ∞。

1）lim［x→x0］ u（x）/v（x） = ∞，則稱u（x）是較之v（x）的高階無窮大量。

2）lim［x→x0］ u（x）/v（x） = a ≠ 0，則稱u（x）是較之v（x）的同階無窮大量，記為u（x） = O（v（x））。

3）lim［x→x0］ u（x）/v（x） = 1，則稱u（x）是較之v（x）的等價無窮大量，記為u（x） ~ v（x）。

以上定義中將x→x0改為x→∞則可得到相應的定義。

四）幾個重要的極限

1）lim［x→0］ sin（x）/x = 1

2）lim［x→∞］ （1+1/x）^x = e

3）lim［x→0］ ［（（1+x）^（1/n）-1）/（x/n）］ = 1

4）lim［x→0］ ［（e^x-1）/x］ = 1

5）lim［x→0］ ［ln（x+1）/x］ = 1

這些函式極限在極限求解和近似計算中都有相應的應用。