向量的叉乘在立體幾何求二面角平面角大小中的應用

示例：如圖所示

：

平面

ABCD

與平面

ADEF

為矩形且交線為

，記

∠

EDC

=

θ

，即

為二面角

的平面角，

分別過點

C

、

E

作平面

ABCD

與平面

ADEF

的垂線交於點

G

，延長

於點

H

。若以向量

（兩個向量

“首尾相連”）分別為平面

ABCD

與平面

ADEF

的法向量，則可得在四

邊形

EDCG

中，因為

，所以∠

EGC

+

θ

= ∠

EGC

+ ∠

CGH

= 180°，所以

θ

= ∠

CGH

。可得

cos

θ

= cos ∠

CGH

=

。

可以將兩個平面的法向量的方向固定為例圖中

“首尾相連”的形式的

話，則可以很輕鬆的計算出二面角的平面角的餘弦值從而求得二面角

的平面角的大小。但是，我們常用的應用向量的點乘（內積法）求平面

法向量的方法需要藉助三元不定方程來求解法向量，而這種方法的缺

點一是計算量較大，二是較難確定法向量的方向，不適用於剛才示例

中的情況，只能透過觀察圖形來確定二面角的平面角為銳角還是鈍

角，這為解題帶來了一定的難度及風險。而向量的叉乘不僅在計算上

有固定的公式，而且可以結合右手定則確定法向量的方向，因此，我們

可以使用向量的叉乘來解決示例中的情況。

向量的叉乘是指平面內兩個不共線的向量作叉乘運算後可得到

一個與這兩個向量都垂直的向量，即為這兩個向量所在平面的法向

量。結合右手定則，可得到如下兩種情況：

（

1）如圖所示

設平面

α內兩個相交向量分別為

a

= （

x

1 ，

y

1 ，

z

1），

b

= （

x

2 ，

y

2 ，

z

2 ）

，

→ → →

指垂直，四指在向量

a

處以向量

a

為

“初始向量”彎向“結束向量”向量

→ →

=（

y

1

z

2

y

2

z

1

，

x

2

z

1

x

1

z

2

，

x

1

y

2

x

2

y

1

）

（

2）如圖所示

設平面

α內兩個相交向量分別為

a

= （

x

1 ，

y

1 ，

z

1），

b

= （

x

2 ，

y

2 ，

z

2 ）

，

→ →

a

，則大拇指指尖所指方向即為平面

α法向量

n

的方向。再利用三階

行列式可計算得到

=（

y

2

z

1 -

y

1

z

2

，

x

1

z

2 -

x

2

z

1

，

x

2

y

1 -

x

1

y

2

）

→ →

由（

1）、（2）可得

m

=

n

，即在使用右手定則確定方向時，可選取

不同

“初始向量”來根據情況確定法向量的方向，最後結合公式可以很

快計算出平面法向量從而計算出二面角平面角的大小。下面以

2019年

全國卷三（理科）第

19題為例對該方法的解題過程作詳細說明並對題

型進行總結：

從近年高考立體幾何大題第二問的變化趨勢上看，夾角問題一定

會作為

“主旋律”出現，因此，應用向量的叉乘法求二面角平面角的大

小相較於傳統的點乘法有著計算快、求角準的優勢，我在自己的班級

教學中使用後效果顯著，希望這種方法能對大家有所幫助。