極限的運演算法則，你會了嗎

極限的運演算法則，主要是建立四則運演算法則和複合函式的極限運演算法則，利用這些法則，可以求某些函式的極限。

定理1 兩個無窮小的和是無窮小

證明：設α及β是當x->x0的兩個無窮小，而γ=α+β， ∀ ε>0， 因為α是當x->x0時的無窮小，對於ε/2>0，∃δ1 > 0， 當0<|x-x0|<δ1時，不等式|α|<ε/2成立，又因β是當x->x0時的無窮小，對於ε/2>0， ∃δ2 > 0， 當0|x-x0|<δ2時，不等式 |β|<ε/2成立，取δ=min{δ1，δ2|， 則當0<|x-x0|<δ時，|α|<ε/2及|β|<ε/2同時成立，從而|y|=|α+β|≤|α| + |β|≤ε/2+ε/2=ε， 所以γ也是當x->x0時的無窮小。

推論：有限個無窮小之和也是無窮小。

定理2 有界函式與無窮小的乘積之和也是無窮小

證：設函式u在x0的某一去心領域U（x0， δ1）內是有界的，即∃ M>0，使|u|≤M對一切x∈U（x0， δ1）成立，又設α是當x->x0時的無窮小，即 ∀ε>0， ∃δ2>0，當x∈U（x0， δ2）時，有|α|<ε/M。

取δ=min{δ1， δ2}， 則當x∈U（x0， δ）時，|u|≤M 及 |α|<ε/M同時成立，從而|uα|=|u| * |α|x0時的無窮小。

推論1 常數與無窮小的乘積是無窮小

推論2 有限個無窮小的乘積是無窮小

定理3 如果lim f（x） = A， lim g（x） = B， 那麼：

1 lim［f（x） ± g（x）］ = lim f（x）±lim g（x） = A±B；

2 lim［f（x） * g（x）］ = lim f（x） * lim g（x） = A * B；

3 如果B≠0， 則lim（f（x） / g（x）） = limf（x） / lim g（x） = A/B

推論1 如果lim f（x） 存在，而c為常數，那麼 lim ［c * f（x）］ = c lim f（x）。 就是說，求極限時，常數因子可以提到記號的外面，這是因為lim c = c；

推論2 如果lim f（x）存在，而n是正整數， 那麼lim ［f（x）］^n = ［lim f（x）］^n，這是因為 lim［f（x）］^n = lim［f（x） * f（x） * 。。。 * f（x）］ = lim f（x） * lim f（x） * 。。。 * lim f（x） = ［lim f（x）］ ^ n。

定理4 如果 f（x） ≥ g（x）， 而lim f（x） = A， lim g（x） = B， 那麼A≥B

證 令t（x）=f（x）-g（x）， 則t（x）≧0， 有lim t（x） = lim ［f（x） - g（x）］ = lim f（x） - lim g（x） = A-B， 所以A-B≥0 => A≥B

定理5 複合函式的運演算法則

設函式y=f［g（x）］是由函式u=g（x）與函式y=f（u）複合而成f［g（x）］在點x0的某去心領域內有定義，若lim g（x） = u0（x->x0）， lim f（u）=A （u->u0）， 且存在δ0>0，當x∈U（x0， δ0）時，有g（x）≠u0， 則lim f［g（x）］=lim f（u） = A。